Enunciado

Sem resolver, classifique cada uma das seguintes equações como: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulii, Ricatti ou Clairaut.

e) d y d x = y 2 + y x 2 + x

f) d y d x = 4 + 5 y + y 2

g) y   d x = y - x y 2 d y

h) x d y d x = y e x y - x

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Vamos classificar essas EDOs aí, sem resolver.

  1. Primeiro essa:
  2. d y d x = y 2 + y x 2 + x

    Veja que podemos escrever da seguinte forma:

    d y x 2 + x = d x y 2 + y

    d y y 2 + y = d x x 2 + x

    Chegamos ao formato de uma equação separável! 😉

    Passo 2

  3. d y d x = 4 + 5 y + y 2

Bom, essa é uma equação de Ricatti, já que temos y 2 , y e y 0 , com funções contínuas acompanhando.

Passo 2

g) y   d x = y - x y 2 d y

Vamos reescrever:

y d x d y = y - x y 2

d x d y + x y = 1

Essa é uma equação linear, em função de x .

Passo 3

h) x d y d x = y e x y - x

Vamos dar uma mexidinha nela...

x   d y = y e x y - x d x

x   d y - y e x y - x d x = 0

Vamos testar se ela é homogênea...

Temos: M ( x , y ) = - y e x y + x , fazendo M ( t x ,   t y ) temos:

M t x , t y =   - t y e t x t y + t x

=   - t y e x y + t x

= t - y e x y + x

Agora vamos fazer o mesmo com N x , y = x :

N t x , t y = t x

Vemos então que as duas partes são homogêneas e de mesmo grau, então temos uma EDO homogênea 😉

Resposta

e) Separável.

f) Ricatti.

g) Linear, em x .

h) Homogênea.

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Resolva - x y ' + y = y ' + 1 2 sujeito a y 0 = 0 .