Enunciado

Responda o exercício 37 se um dos pedaços é dobrado em um quadrado e o outro em um círculo.

Passo 1

Bom pessoal, temos dois pedaços de fio que somados medem 10m. Um é dobrado em quadrado e outro em circulo. Vamos representar estes pedaços:

O perímetro do círculo vale o comprimento ( 10 - x ) dividido por 4.

A área do quadrado vale:

A q = 10 - x 4 2 = 1 16 100 - 20 x + x 2  

A área do circulo vale:

A c = π d 2 4

Mas sabemos que o perímetro do circulo vale o comprimento x:

P c = x = π d

Então:

A c = π x π 2 4 = x 2 4 π

A área total será a soma das áreas:

A = A d + A c

A = 1 16 100 - 20 x + x 2 + x 2 4 π

Passo 2

  1. Esta letra pede a área total máxima:
  2. Os valores críticos de A podem ser encontrados a partir da primeira derivada de A:

    A ' = 0

    1 16 - 20 + 2 x + x 2 π = 0

    - 20 π + 2 π x + 8 x = 0

    x = 10 π π + 4

    Substituindo na equação da área:

    A = 10 - 10 π π + 4 4 2 + 10 π π + 4 2 4 π

    A = 1,96 + 1,54 = 3,50

    Nos outros extremos, quando x = 10   o u x = 0 ,   t e m o s :

    A 0 = 10 4 2 = 6,25

    A 10 = 10 2 4 π = 7,96

    Portanto, a maior área é quando todo o fio é usado para o círculo.

    A 10 = 7,96

  3. A menor área é o ponto mínimo encontrado:

A 10 π π + 4 = 3,50

Resposta

a ) A 10 = 7,96

b ) A 10 π π + 4 = 3,50  

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