Enunciado

43. Pode-se mostrar que todo intervalo contém números racionais e irracionais. Aceitando isso, a função.

f x = 1   s e   x   r a c i o n a l 0   s e   x   f o r   i r r a c i o n a l

Pode ser integrável em um intervalo fechado [ a , b ] ? Explique seu raciocínio.

Passo 1

Faremos pela soma de Riemann e veremos se as somas de Riemann são iguais para qualquer valor de x k * .

A soma de Riemann:

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x k

Passo 2

Escolhemos para x k * valores racionais e calcularemos a soma de Riemman para essa soma:

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x k = lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n ( 1 ) ∆ x k = lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n ∆ x k = b - a

Passo 3

Agora vamos calcular o valor da soma de Riemman, escolhendo para x k * valores irracionais:

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x k = lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n ( 0 ) ∆ x k = 0

E os valores da soma de Riemman são diferentes, então podemos afirmar que a função

f x = 1   s e   x   r a c i o n a l 0   s e   x   f o r   i r r a c i o n a l

É não integrável.

Resposta

É não integrável.

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