Enunciado

São dados uma função f e os números n, a e b. Aproxime até quatro casas decimais a área da região limitada pela curva y = f x , pelo eixo x e as retas x = a e x = b fazendo o seguinte: divida o intervalo [a, b] em n subintervalos de Δ x unidades de largura.

f x = 1 x 2 , a = 1 , b = 2 , n = 12 , retângulos inscritos.

Passo 1

A questão nos pede para calcular a área cinza, limitada pelas três curvas e o eixo x:

Devemos então, conforme pedido, utilizar retângulos inscritos na região para realizar o cálculo.

Passo 2

Como a nossa curva é decrescente no intervalo dado, [1, 2], o valor mínimo absoluto no i-ésimo intervalo, ou seja, o último retângulo à direita, é f x i = 1 2 2 , ou seja, a altura deste último retângulo possui este valor. Portanto, utilizaremos f ( x i ) na fórmula da área.

Temos que:

A =   ∑ i = 1 n = 12 f x i Δ x

Sendo que:

Δ x = b - a n = 2 - 1 12 = 1 12

Δ x = 0,0833

Isto é, cada um dos 12 retângulos inscritos possui 0,0833 de largura

Passo 3

Podemos então calcular cada um dos x i que serão utilizados no cálculo, e também seu f ( x i ) correspondente.

x i = a + ( i * Δ x )

f x i = 1 x i 2

Podemos então calcular a área desejada:

A =   ∑ i = 1 n = 12 f x i Δ x

A = Δ x ∑ i = 1 n = 12 f x i

A = 0,0833 *   ( 0,8521 + 0,7347 + 0,6400 + 0,5625 + 0,4983 + 0,4444 + 0,3989 + 0,3600 + 0,3265 + 0,2975 + 0,2722 + 0,2500 )

Resposta

Portanto, após todo este cálculo:

A = 0,4698

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