Enunciado

Se x unidades forem demandadas quando p for o preço unitário, ache uma equação envolvendo p e x (a equação da demanda) de uma mercadoria para a qual a função rendimento marginal é dada por R ' x = 4 + 10 ( x + 5 ) - 2 .

Passo 1

O rendimento marginal é a primeira derivada da função rendimento total R. Assim, C pode ser obtido de R’ por antidiferenciação. Assim que determinarmos a função rendimento total, a constante que sempre aparece no final pode ser calculada se conhecermos o custo da produção de um número específico de unidades da mercadoria. Como o enunciado não menciona nada a respeito disso, podemos partir da verdade que a função rendimento total é zero quando o número de unidades produzidas é zero!

R 0 = 0

Agora vamos montar a função rendimento total.

R x = ∫ R ' x d x R x = ∫ 4 + 10 ( x + 5 ) - 2 d x

Passo 2

Resolvendo a integral temos:

R x = ∫ 4 + 10 x + 5 - 2 d x R x = ∫ 4 d x + ∫ 10 x + 5 - 2 d x R x = 4 x + 10 ( x + 5 ) - 1 - 1 + K R x = 4 x - 10 ( x + 5 ) - 1 + K R x = 4 x - 10 x + 5 + K

Passo 3

Uma vez obtida a função de rendimento total, vamos aplicar o valor inicial dado no enunciado para descobrirmos quanto vale a constante K. Assim,

R 0 = 0 R 0 = 4 * 0 - 10 0 + 5 + K = 0 - 10 5 + K = 0 - 2 + K = 0 K = 2

Passo 4

O enunciado pede uma equação envolvendo o preco unitário p e a quantidade de mercadoria x. Sabemos que o rendimento é dado por R x = p x . Assim, façamos essa igualdade.

R x = p x = 4 x - 10 x + 5 + 2 Fazendo o MMC do lado direito da igualdade, temos que o denominador passa a ser x + 5 .

p x = 4 x x + 5 - 10 + 2 x + 5 x + 5 p x x + 5 = 4 x 2 + 20 x - 10 + 2 x + 10 p x x + 5 = 4 x 2 + 22 x p x + 5 = 4 x 2 + 22 x x p x + 5 = 4 x + 22

Resposta

O resultado final é:

p x + 5 = 4 x + 22

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