Enunciado

Para uma certa mercadoria, a função custo marginal é dada por C ' x = 3 2 x + 4 . Se o custo geral for zero, determine a função custo total.

Passo 1

O custo marginal é a primeira derivada da função custo total C. Assim, C pode ser obtido de C’ por antidiferenciação. Assim que determinarmos a função custo total, a constante que sempre aparece no final pode ser calculada se conhecermos o custo geral (que é o custo quando nenhuma unidade é produzida!). Do enunciado podemos extrair essa informação!

C 0 = 0

Agora vamos montar a função custo total.

C x = ∫ C ' x d x C x = ∫ 3 2 x + 4 d x

Passo 2

O polinomino que possui a raiz não deixa nossa integração ser tranquila de ser resolvida. Portanto, vamos utilizar o método da substituição de variáveis para facilitar o entendimento dela. Vamos dizer que v = 2 x + 4 . Derivando dos dois lado da equação temos:

v = 2 x + 4 d v = 2 d x d v 2 = d x Substituindo na integral temos

C v = ∫ 3 v d v 2

Passo 3

Feita a substituição, podemos calcular a integral.

C v = ∫ 3 v d v 2 C v = 3 2 ∫ v 1 2 d u C v = 3 2 v 3 2 3 2 + K C v = 6 6 v 3 2 + K C x = ( 2 x + 4 ) 3 / 2 + K

Passo 4

Uma vez obtida a função de custo total, vamos aplicar o valor inicial dado no eneunciado para descobrirmos quanto vale a constante K. Assim,

C 0 = 0 C 0 = 2 * 0 + 4 3 2 + K = 0 4 3 2 + K = 0 ( 4 ) ³ + K = 0 8 + K = 0 K = - 8

Resposta

O resultado final é:

C x = ( 2 x + 4 ) 3 / 2 - 8

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