Enunciado

Se f e g são funções pares, f + g é par? Se f e g são funções impares, f + g é impar? O que se pode dizer se f for par e g for ímpar?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar alguns resultados em operações com funções pares e ímpares. Primeiro, sabendo que f e g são funções pares, precisamos verificar se f + g também é par.

Segundo, sabendo que f e g são funções impares, precisamos saber se f + g gera uma função ímpar como resultado. E por fim, ele quer saber o que se pode dizer se f for par e g for ímpar.

Para fazer essas verificações, precisamos lembrar que se f e g são funções pares, temos, por definição:

f x = f - x

E,

g x = g - x

Além disso, se f e g são funções ímpares, temos por definição:

f x = - f - x

E,

g x = - g - x

Então, vamos partir dessas definições e verificar se o resultado da soma dessas funções é par ou ímpar.

Vamos lá!

Passo 2

Sabendo que f e g são funções pares, vamos soma-las:

f + g x = f x + g x

Usando f x = f - x e g x = g - x , temos:

f x + g x = f - x + g - x

= f + g - x

Logo,

f + g x =   f + g - x

Isto quer dizer que a soma das funções f e g é par.

Passo 3

Vamos responder à segunda pergunta agora. Fazendo também a soma das funções:

f + g x = f x + g x

Fazendo x = - x , temos:

f + g - x =   f - x + g - x

E agora considerando f x = - f - x e g x = - g - x , funções ímpares, temos:

f - x + g - x =   - f x + - g x

=   - f x - g x

=   - f + g x

Logo, f + g - x = - ( f + g ) ( x )

Isto significa que a soma de suas funções ímpares também resulta em uma função ímpar.

Passo 4

Na terceira pergunta, ele quer saber o que se pode dizer se f for par e g for ímpar.

Nesse caso, nada podemos afirmar. Porque, por exemplo, sendo f x = x 2 , temos que f é par e tomando g x = x que é ímpar, vamos ter a soma:

f + g x = x 2 + x  

Por outro lado,

f + g - x = f - x + g - x

= - x 2 + - x

= x 2 - x

E o resultado muda. Então, a soma não é par nem ímpar. Exceto se f for zero, aí teremos f + g como uma função ímpar, ou se g for zero e teremos f + g par.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A   s o m a   d e   p a r e s   é   p a r ,   e   d e   i m p a r e s   é   i m p a r .   N a d a   a l é m   d i s s o   p o d e m o s   a f i r m a r .  

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