Enunciado

  1. Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
  2. Encontre os valores máximo e mínimo locais.
  3. Encontre os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
  4. Use as informações de a)-c) para esboçar o gráfico.

Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

h x = 5 x 3 - 3 x 5

Passo 1

Vamos resolver por ordem dos itens, beleza?

No item a) precisamos achar onde h cresce ou decresce, mas pra isso precisamos da derivada e dos pontos críticos, então vamos encontra-los.

Derivando h , usando a regra da subtração, temos que

h ' x = 15 x 2 - 15 x 4

Precisamos achar nossos candidatos a máximo e mínimo, ou seja, pontos críticos.

h ' x = 0

Ou seja,

x 2 15 - 15 x 2 = 0  

Isto é,

x = 0   ou 15 x 2 = 15

Ou seja, x = ± 1

Então x = 0   e x = ± 1   são candidatos a pontos críticos.

Passo 2

Agora, precisamos analisar as proximidades desse ponto para usar o teste da primeira e obter os máximos e mínimos (ou não hahah)

Temos que

  1. h ' x < 0   se   x ∈ - ∞ ,   - 1  
  2. h ' x > 0   se x ∈ - 1,0
  3. h ' x > 0   se x ∈ 0,1
  4. h ' x < 0 se x ∈ ( 1 ,   ∞ )

(você pode verificar isso pegando números no intervalo que te dei e aplicando na derivada).

Pelo teste da primeira derivada, h é crescente em - 1,0 e 0,1 e decrescente em - ∞ , -   1   e ( 1 ,   ∞ ) .

Passo 3

Respondendo o item b)...

Vamos usar o item anterior, olha só!

h ( 1 ) é um máximo local, pois h   sai de crescente para decrescente. E, h - 1 é um mínimo local, pois h sai de decrescente para crescente.

Passo 4

Precisamos saber da concavidade da função, beleza? Então vamos calcular a segunda derivada.

Usando a regra da subtração, temos que

h " ( x )   =   30   x   - 60   x 3

Achando o candidato a ponto de inflexão

h ' ' = 0

Ou seja,

30 x - 60   x 3 = 0  

Colocando x em evidencia,

x 30 - 60 x 2 = 0

Daí,

x = 0 ou x = ± 1 2

Temos que esses são nossos candidatos a ponto criticos

Passo 5

Agora temos que analisar o que acontece nas proximidades do ponto que encontramos no passo anterior, para verificar se ele é mesmo um ponto de inflexão. Vamos lá!

Temos que:

  1. h ' x > 0   se   x ∈ - ∞ ,   - 1 2  
  2. h ' x > 0   se x ∈ - 1 2 , 0
  3. h ' x < 0   se x ∈ 0 , 1 2
  4. h ' x < 0 se x ∈ ( 1 2 ,   ∞ )

Temos que h é conca para cima em - ∞ ,   - 1 2   e - 1 2 , 0 e para baixo em 0 , 1 2 e ( 1 2 ,   ∞ ) .

Pelo teste da segunda derivada, não temos um ponto de inflexão .    

Passo 6

Agora, temos que esboçar o gráfico.

Partiu!

Resposta

h é crescente em - 1,0 e 0,1 e decrescente em - ∞ ,   - 1   e ( 1 ,   ∞ ) .   h ( 1 ) é um máximo local. E, h - 1 é um mínimo local. Temos que h é concava para cima em - ∞ ,   - 1 2   e - 1 2 , 0 e para baixo em 0 , 1 2 e ( 1 2 ,   ∞ ) . Não temos um ponto de inflexão

Conferindo com o software, h é decrescente em - 1 2 ,   - 1   .

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