Enunciado

Se a, b e c são os lados de um triângulo e A, B e C são os ângulos opostos, determine ∂ A / ∂ a ,   ∂ A / ∂ b   e   ∂ A / ∂ c pela derivação implícita da Lei dos Cossenos.

Passo 1

Imaginemos um triângulo qualquer conforme o indicado na figura abaixo:

Pela Lei dos Cossenos,

a 2 = b 2 + c 2 - 2 a b cos ⁡ A

De modo que, para calcularmos aquelas derivadas do enunciado, precisamos derivar implicitamente essa Lei dos Cossenos com relação aos lados. Vamos às contas?

Passo 2

Derivando em relação a a :

2 a = 2 b ∂ b ∂ a + 2 c ∂ c ∂ a - 2 b cos ⁡ A + a ∂ b ∂ a cos ⁡ A - a b ∂ A ∂ a sen ⁡ A ∴

∴ ∂ A ∂ a = a - b ∂ b ∂ a - c ∂ c ∂ a + b cos ⁡ A + a ∂ b ∂ a cos ⁡ A a b sen ⁡ A

De maneira semelhante, derivando em relação a b :

2 a ∂ a ∂ b = 2 b + 2 c ∂ c ∂ b - 2 a cos ⁡ A + b ∂ a ∂ b cos ⁡ A - a b ∂ A ∂ b sen ⁡ A ∴

∴ ∂ A ∂ b = a ∂ a ∂ b - b - c ∂ c ∂ b + a cos ⁡ A + b ∂ a ∂ b cos ⁡ A a b sen ⁡ A

Por último, derivando em relação a c :

2 a ∂ a ∂ c = 2 b ∂ b ∂ c + 2 c - 2 ∂ a ∂ c b cos ⁡ A + a ∂ b ∂ c cos ⁡ A - a b ∂ A ∂ c sen ⁡ A ∴

∴ ∂ A ∂ c = a ∂ a ∂ c - b ∂ b ∂ c - c + ∂ a ∂ c b cos ⁡ A + a ∂ b ∂ c cos ⁡ A a b sen ⁡ A

Resposta

∂ A ∂ a = a - b ∂ b ∂ a - c ∂ c ∂ a + b cos ⁡ A + a ∂ b ∂ a cos ⁡ A a b sen ⁡ A

∂ A ∂ b = a ∂ a ∂ b - b - c ∂ c ∂ b + a cos ⁡ A + b ∂ a ∂ b cos ⁡ A a b sen ⁡ A

∂ A ∂ c = a ∂ a ∂ c - b ∂ b ∂ c - c + ∂ a ∂ c b cos ⁡ A + a ∂ b ∂ c cos ⁡ A a b sen ⁡ A

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