Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 39
Na Seção 4.8, no Volume I, consideramos o método de Newton para aproximar uma raiz da equação , e a partir de uma aproximação inicial obtivemos aproximações sucessivas onde
Use a desigualdade de Taylor com , e para mostrar que, se existir em um intervalo contendo , e e , para todo , então
[Isso significa que, se tem precisão de casas decimais, então terá precisão de cerca de casas decimais. Mais precisamente, se o erro no estágio for no máximo , então o erro na etapa será no máximo .]
Passo 1
Usando com e , nós temos
onde é o polinômio de Taylor de primeiro grau de em . Como ,
Passo 2
Porém, é uma raiz de , de modo que e então, teremos:
Usando a fórmula do método de Newton, obtemos:
Passo 3
Agora a desigualdade de Taylor nos dá:
Combinando essa inequação com e , chegamos a:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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