Enunciado

Na Seção 4.8, no Volume I, consideramos o método de Newton para aproximar uma raiz r da equação f x = 0 , e a partir de uma aproximação inicial x 1 obtivemos aproximações sucessivas x 2 ,   x 3 ,   …   , onde

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Use a desigualdade de Taylor com n = 1 , a = x n e x = r para mostrar que, se f ' ' x existir em um intervalo I contendo r , x n e x n + 1 e f ' ' x ≤ M , f ' x ≥ K para todo x ∈ I , então

x n + 1 - r ≤ M 2 K x n - r 2

[Isso significa que, se x n tem precisão de d casas decimais, então x n + 1 terá precisão de cerca de 2 d casas decimais. Mais precisamente, se o erro no estágio n for no máximo 10 - m , então o erro na etapa n + 1 será no máximo M 2 K 10 - 2 m .]

Passo 1

Usando f x = T n x + R n x com n = 1 e x = r , nós temos

f r = T 1 r + R 1 r   ,

onde T 1 é o polinômio de Taylor de primeiro grau de f em a . Como a = x n ,

f r = f x n + f ' x n r - x n + R 1 ( r )

Passo 2

Porém, r é uma raiz de f , de modo que f r = 0 e então, teremos:

0 = f x n + f ' x n r - x n + R 1 r

f ' x n x n - r - f x n = R 1 ( r )

x n - r - f x n f ' x n = R 1 ( r ) f ' x n

Usando a fórmula do método de Newton, obtemos:

x n + 1 - r = R 1 r f ' x n

x n + 1 - r = R 1 r f ' x n

Passo 3

Agora a desigualdade de Taylor nos dá:

R 1 r ≤ f ' ' r 2 ! r - x n 2

Combinando essa inequação com f ' ' x ≤ M e f ' x ≥ K , chegamos a:

x n + 1 - r ≤ M 2 K x n - r 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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