Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Capítulo 2.8 - Ex. 7b

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Seja f → t = sen ⁡ t i → + cos ⁡ t j → + 2 k → e h t = 1 t . Calcular:

(b) lim t → 0 ⁡ [ h t ⋅ f → t ]

Passo 1

Galerinha, vamos inicialmente desenvolver esse produto de h ( t ) por f → ( t ) !

h t ⋅ f → t = 1 t sen ⁡ t i → + cos ⁡ t j → + 2 k →

h t ⋅ f → t = sen ⁡ t t i → + cos ⁡ t t j → + 2 t k →

Agora que temos o resultado, vamos escrever o limite com base na seguinte propriedade: o limite de uma soma é igual a soma dos limites. Assim, vamos escrever nosso novo limite:

lim t → 0 ⁡ [ h t ⋅ f → t ] = lim t → 0 ⁡ sen ⁡ t t i → + cos ⁡ t t j → + 2 t k →  

lim t → 0 ⁡ [ h t ⋅ f → t ] = lim t → 0 ⁡ sen ⁡ t t i → + lim t → 0 ⁡ cos ⁡ t t j → + lim t → 0 ⁡ 2 t k →

Passo 2

Basta agora aplicarmos o limite! Assim,

lim t → 0 ⁡ [ h t ⋅ f → t ] = lim t → 0 ⁡ sen ⁡ t t i → + lim t → 0 ⁡ cos ⁡ t t j → + lim t → 0 ⁡ 2 t k →

Aqui precisamos analisar com cuidade cada limite. O primeiro é o limite de sen ⁡ t t quando t tende a zero. Esse é um limite conhecido e é igual a 1 ; o segundo limite nos dá a 1 / 0 , que vai para o infinito; por fim o último limite nos revela o resultado 2 / 0 , indo para o infinito também. Logo:

lim t → 0 ⁡ [ h t ⋅ f → t ] = i → + ∞ + ∞

Resposta

O limite não existe!

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