Enunciado

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Seja f x = x + e x e seja g sua inversa.

a) Prove que o domínio e a imagem de g são intervalos.

b) Prove que g é estritamente crescente.

c) Prove que g é contínua. (Sugestão: Utilize o Exercício 12.)

Passo 1

a) Note que a função f está definida para todo x real, logo seu domínio é o intervalo ] - ∞ ,   ∞ [ . Como o domínio de f é a imagem de sua inversa g , provamos que a imagem de g é um intervalo.

Só falta mostrar que o domínio de g também é o intervalo ] - ∞ , ∞ [ , podemos começar tomando os seguintes limites:

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x + e x → ∞ + ∞

lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x + e x → - ∞ + 0

lim x → - ∞ ⁡ f x = - ∞

Passo 2

Os limites calculados anteriormente nos mostram que, se y é um real qualquer, então existem reais r e s , com r < s , tais que f r < y < f s .

Agora, usando a continuidade de f e o teorema do valor intermediário, concluímos que existe x com r < x < s , tal que f x = y .

Logo, a imagem de f é o intervalo ] - ∞ ,   ∞ [ .

Como a imagem de f é o domínio de sua inversa g , provamos que o domínio de g é um intervalo.

Passo 3

b) Para provar que a inversa g é estritamente crescente, temos que mostrar que:

y 1 < y 2 ⇒ g y 1 < g y 2

Sendo y 1 = f x 1 e y 2 = f x 2 , temos que provar:

f x 1 < f x 2 ⇒ x 1 < x 2

Beleza! Então vamos começar:

f x 1 < f x 2 ⇒ x 1 + e x 1 < x 2 + e x 2

⇒ x 2 - x 1 + e x 2 - e x 1 > 0

Supondo, por contradição, que x 1 ≥ x 2 , a inequação acima jamais se verificaria, pois teríamos:

x 2 - x 1 ≤ 0           e           e x 2 - e x 1 ≤ 0

Logo, a única possibilidade será a implicação:

f x 1 < f x 2 ⇒ x 1 < x 2

Assim, a inversa g é estritamente crescente.

Passo 4

c) Acabamos de mostrar que o domínio e a imagem de g são intervalos, e que g é uma função estritamente crescente.

Logo, pelo resultado enunciado no Exercício 12, podemos afirmar que a função inversa g é contínua.

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f x = ∫ x 2 t d t ,   x < 0 ; d = - 6
Calcule.j) a r c   s e n - 3 2
Calculec) cos ⁡ a r c   s e n - 3 2
Calculed) s ec ⁡ a r c   t g   1
Seja f uma função inversível com inversa g . Mostre quea) f g x = x para todo x ∈ D g b) g f x = x para todo x ∈ D f
Calcule.d) a r c   t g   1
Calculee) a r c s e n ( s e n   x ) , onde - π 2 ≤ x ≤ π 2 .
Seja f dada por f x = x 3 .a) Mostre que f é inversível e determine sua inversa g b) Esboce os gráficos de f e de g
Calculeg) a r c   s e n s e n   2 π 3 (Cuidado!)
Calcule.g) a r c   s e n - 1 2
Calcule.h) a r c   s e n   - 1
Determine a derivada.j) y = x a r c t g x cos ⁡ 2 x