Enunciado

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Seja f x = x 5 - x 2 . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f apresenta uma raiz de ordem par, então é preciso que:

5 - x 2 ≥ 0 ⇒

5 ≥ x 2 ⇒

x 2 ≤ 5 ⇒

x 2 ≤ 5 ⇒

x ≤ 5 ⇒

- 5 ≤ x ≤ 5

Assim, o domínio de f será [ - 5 ,   5 ] .

Passo 2

Pelas regras de derivação temos:

f ' x = 5 - x 2 + x . 1 2 5 - x 2 - 1 2 . - 2 x ⇒

f ' x = 5 - x 2 - x 2 5 - x 2 - 1 2 ⇒

f ' x = 5 - x 2 - x 2 5 - x 2 1 2 ⇒

f ' x = 5 - x 2 - x 2 5 - x 2

Note f ' ( x ) não existe para x = ± 5 . Então para este valor de x temos um ponto crítico de f . Os outros pontos críticos ocorrem quando f ' x = 0 . Assim:

f ' x = 0 ⇒

5 - x 2 - x 2 5 - x 2 = 0 ⇒

5 - x 2 = x 2 5 - x 2 ⇒

5 - x 2 . 5 - x 2 = x 2 5 - x 2 . 5 - x 2 ⇒

5 - x 2 2 = x 2 ⇒

5 - x 2 = x 2 ⇒

5 = x 2 + x 2 ⇒

5 = 2 x 2 ⇒

5 2 = x 2 ⇒

x 2 = 5 2 ⇒

x = ± 5 2 ⇒

x = ± 10 2

Assim os pontos críticos de f ocorrem quando x = 10 2 , ou x = - 10 2 .

Passo 3

Como f não existe para x > 5 e para x < - 5 , não é possível aplicar o teste da derivada em x = 5 e em x = - 5 . Assim, para determinar se f tem um extremo relativo em x = ± 10 2 devemos aplicar o teste da primeira derivada. Desta forma:

→ - 5 < x < - 10 2 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ - 10 2 < x < 10 2 :

f ' x > 0 e f é crescente.

→ 10 2 < x < 5 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

Logo f admite máximo relativo em x = 10 2 e mínimo em x = - 10 2 .

Passo 4

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = 2 x 3 - x . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = x 5 - x 2 é crescente no intervalo - 10 2 ,   10 2 , é decrescente em - 5 ,   - 10 2 e em 10 2 ,   5 , admite máximo relativo em x = 10 2 e mínimo relativo em x = - 10 2 .

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