Enunciado

Seja A t a área de uma cultura de tecido em um instante t e seja M a área final do tecido quando o crescimento está completo. A maioria das divisões celulares ocorre na periferia do tecido, e o número de células na periferia é proporcional a A t . Assim, um modelo razoável para o crescimento do tecido é obtido assumindo-se que a taxa de crescimento da área seja conjuntamente proporcional a A t e M - A t .

(a) Formule uma equação diferencial e use-a para mostrar que o tecido cresce mais rápido quando A t = 1 3 M .

(b) Resolva a equação diferencial para encontrar uma expressão para A t . Use um sistema de computação algébrica para fazer a integração.

Passo 1

(a) Bom, galera. A gente precisa formular uma equação diferencial que descreva a situação do enunciado. Observe que ele nos diz que a taxa de crescimento da área é proporcional a A t e a M - A t . Escrevendo isso matematicamente, olha no que resulta:

d A d t = k   A   M - A

sendo k uma constante de proporcionalidade.

Passo 2

Agora temos que mostrar que o tecido cresce mais rápido, ou seja, que d A d t   é máximo, quando A = 1 3 M . Mas como é mesmo que a gente acha o máximo global de uma função? Bom, pra começar, vamos derivadar a função que queremos maximizar e igualar a 0 , pra achar pontos críticos, ok? Lembre-se de que aqui temos que usar a regra da cadeia para A , pois ela depende de t :

d A d t ' = d d t k M A 1 2 - k A 3 2   = 0

k M 2 A   d A d t - 3 k A 2   d A d t = 0

M A - 3 A ) k 2   d A d t     = 0

M A = 3 A

A = 1 3 M

Então, relembre lá do Cálculo 1,   A = 1 3 M é um ponto crítico, então vamos verificar o valor da função que a gente quer maximizar nos pontos críticos e nos extremos do domínio de A :

A = 0 ⇒ d A d t = 0

A → ∞ ⇒ d A d t → - ∞

A = 1 3 M ⇒ d A d t = k M 3   2 M 3

De todos esses pontos, A = 1 3 M resultou no maior valor de   d A d t   , então ele é realmente o ponto onde a função atinge seu máximo global.

Passo 3

(b) Nesse item a gente vai resolver a equação diferencial que formulamos no item (a):

d A d t = k   A   M - A

Repare que ela é do tipo separável:

1 A   M - A   d A = k   d t

Agora a gente integra cada lado, certo?

∫ 1 A   M - A   d A = ∫ k   d t + C

Mas pera, como será que resolve essa integral da esquerda? Sinceramente, não faço a mínima ideia de como começar! Mas, para nosso alívio, o exercício não nos exigiu resolver isso no braço, podemos utilizar um sistema de computação algébrica pra fazer a integração. Ufa!

Usando esse recurso, chegamos a:

A t = M C e M k t - 1 C e M k t + 1 2

Resposta

(a)   d A d t = k   A   M - A

(b) A t = M C e M k t - 1 C e M k t + 1 2 (SCA)

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