Enunciado

Um modelo para a propagação de um boato é que a taxa de propagação é proporcional ao produto da fração y da população que ouviu o boato pela fração que não ouviu o boato.

(a) Escreva uma equação diferencial que seja satisfeita por y .

(b) Resolva a equação diferencial.

(c) Uma cidade pequena tem 1000 habitantes. Às 8 horas, 80 pessoas tinham ouvido o boato. Ao meio-dia, metade da cidade tinha ouvido o boato. A que horas 90   % da população terá ouvido o boato?

Passo 1

(a) Ei, pessoal! Fiquei sabendo que vamos ter que formular uma equação diferencial pra descrever o boato, heim.

Primeiro, quem é y ? Não é a quantidade de pessoas que ouviram o boato! O enunciado nos contou que y é a fração da população que já ouviu o boato. Sendo assim, a taxa de propagação desse boato é d y d t     ,   certo?

Ele também nos disse que essa taxa é proporcional à fração y e também proporcional à fração da população que não ouviu o boato. Então:

d y d t = k y 1 - y

pois somando as duas frações de população tem que dar 1 , né?

Passo 2

(b) Agora a gente resolve a equação diferencial. Ela é separável, não parece ser tão difícil de resolver, mas facilitamos ainda mais a nossa vida quando percebemos que ela é uma equação diferencial logística:

d P d t = k P 1 - P K   ,

cuja resolução nos dá:

P t = K 1 + C e - k t     ,       C = K - P 0 P 0

Comparando as duas equações, temos que, no caso do boato, K = 1 . Então nossa resolução fica assim, ó:

y t = 1 1 + C e - k t     ,       C = 1 - y 0 y 0

Passo 3

(c) Agora a gente tem uma situação de boato numa cidade com 1000 habitantes. Sabemos que 80 pessoas já tinham ouvido o boato às 8 da manhã. Isso é equivalente a dizer, nesse horário inicial, tínhamos uma fração y 0 = 80 1000 = 0,08 de pessoas que ouviram o boato. Vamos usar isso de uma vez pra calcular C :

C = 1 - 0,08 0,08 = 11,5

Também temos a informação de que às 12 horas,   1 2   era a fração de pessoas que já tinham ouvido o boato. Vamos usar isso pra calcular a constante k , lembrando que t é medido em horas passadas a partir de 8 h. Então:

y 4 = 1 2 = 1 1 + 11,5   e - k   .     4

1 + 11,5   e - 4 k = 2

k = - 1 4 ln ⁡ 1 11,5 ≈ 0,61

Agora sim estamos prontos pra responder a que horas 90   % da população já tinha ouvido o boato! Vamos isolar t na equação y t = 0,9 , beleza?

y t = 0,9 = 1 1 + 11,5   e - 0,61   t

1 + 11,5   e - 0,61   t = 1 0,9

t = - 1 0,61 ln ⁡ 1 0,9 - 1 11,5 ≈ 7,6   h o r a s   a p ó s   8   h

Isso nos dá o seguinte horário exato:

8   h + 7   h + 6 10   h = 15 h + 6   .   6   m i n = 15   h   e   36 m i n

Resposta

(a) d y d t = k y 1 - y

(b) y t = 1 1 + C e - k t     ,       C = 1 - y 0 y 0

(c) 15:36

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