Enunciado

Suponha que uma população se desenvolva de acordo com a equação logística

d P d t = 0,05   P - 0,0005   P 2

onde t é medido em semanas.

(a) Qual é a capacidade de suporte? Qual é o valor de k ?

(b) Um campo de direções para essa equação é mostrado à direita. Onde as inclinações estão próximas de 0 ? Onde elas são maiores? Quais soluções são crescentes? Quais soluções são decrescentes?

(c) Use o campo de direções para esboçar as soluções para as populações iniciais de 20 ,   40 ,   60 ,   80 ,   120   e 140 . O que essas soluções têm em comum? Como diferem? Quais soluções têm pontos de inflexão? Em qual nível populacional elas ocorrem?

(d) Quais são as soluções de equilíbrio? Como as outras soluções estão relacionadas a essas soluções?

Passo 1

(a) Ei, pessoal! O enunciado nos deu a equação logística:

d P d t = 0,05   P - 0,0005   P 2

Agora olha a forma genérica de uma equação logística:

d P d t = k P 1 - P K = k P - k P 2 K

A partir dessas informações, a gente precisa descobrir o valor da capacidade de suporte, ou seja, a constante K , e o valor da constante k, beleza?

Vamos igualar as duas expressões de d P d t   pra comparar termo a termo:

k P - k P 2 K = 0,05   P - 0,0005   P 2

Pra essas duas coisas serem iguais, a gente precisa que a constante que multiplica P seja igual dos dois lados, assim como a constante que acompanha P 2 , certo?

Para P , temos:

k = 0,05

Para P 2 :

- k K = - 0,0005

Mas já achamos que k = 0,05 , então:

- 0,05 K = - 0,0005

K = 0,05 0,0005 = 100

Passo 2

(b) Pessoal, vamos olhar pro campo de direções. Onde as inclinações são mais próximas de 0 ? Ou seja, onde as retas parecem mais horizontais? Isso ocorre quando P tá próximo de 0 ou de 100 , não é mesmo?

E onde as inclinações são maiores? Ou seja, onde as retas são crescentes e parecem estar mais verticais? Isso ocorre quando P está mais próximo de 50 , certo?

Agora, onde as soluções são crescentes ou decrescentes? Repare que toda solução que começa abaixo de 100 , ou seja, em que 0 < P 0 < 100 , é crescente. E se P 0 > 100 ,   a solução é decrescente.

Passo 3

(c) Show! Agora bora esboçar as soluções pedidas no campo de direções:

O que você enxerga de comum entre essas curvas? Parece que todas elas têm a tendência de “terminar” no mesmo ponto, né? Ou seja, quanto mais o tempo passa, mais a população P se aproxima de 100 , pra qualquer uma dessas soluções.

E qual a principal diferença entre elas? Bom, as que começam abaixo de 100 são crescentes, e as que começam acima de 100 são decrescentes.

Agora, se você reparar bem, algumas dessas curvas têm ponto de inflexão. Observa as soluções de P 0 = 20 e P 0 = 40 . A curva vai ficando cada vez mais inclinada até chegar mais ou menos em P = 50 , e a partir daí a inclinação vai diminuindo até zerar em P = 100 .

Passo 4

(d) As soluções de equilíbrio são do tipo P t = c o n s t a n t e , e portanto, são representadas por retas. Veja que P t = 0 e P t = 100 são soluções de equilíbrio.

E perceba que todas as soluções não nulas se aproximam da solução de equilíbrio P t = 100 quando t → ∞ , beleza galera?

Resposta

(a) K = 100

k = 0,05

(d) P t = 0 e P t = 100

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