Enunciado

Seja F x , y = 1 + 4 - y 2 .

  1. Calcule F ( 3,1 ) .
  2. Determine e esboce o domínio de F .
  3. Determine a imagem de F .

Passo 1

Falaaa aí! Tudo joinha?

Vamos matar mais essa?

  1. A gente quer calcular F ( 3,1 ) . Isso significa que a gente vai substituir x = 3 e y = 1 na nossa função F ( x , y ) , beleza? Vamos lá!
  2. Nossa função é: F x , y = 1 + 4 - y 2 . Maaaas... não tem x nela!! Onde que a gente vai substituir x = 3 ?

    Bom, a gente não vai! Se não tem o x ali, não se preocupe com ele. Vamos substituir só o y ...

    F 3,1 = 1 + 4 - 1 2

    F ( 3,1 ) = 1 + 3

    Prontinho! Essa já foi!

    Passo 2

  3. Agora vamos pro domínio!
  4. Vamos escrever nossa função assim:

    z = 1 + 4 - y 2

    Qual restrição a gente tem aqui?

    A raiz quadrada não pode ser negativa, não é?

    Ou seja, a gente precisa que:

    4 - y 2 ≥ 0

    - y 2 ≥ - 4

    y 2 ≤ 4

    y ≥ - 2     e   y ≤ 2

    Como o x   não tá na função, ele pode assumir qualquer valor.

    O domínio então é:

    D = x , y 4 - y 2 ≥ 0 } → { ( x , y ) | x ∈ R ,   y ∈ - 2,2 }

    O esboço dele é assim:

    Ou, em 3 D :

    Passo 3

  5. Vamos ver a imagem agora.

Bom, pensa só: a raiz é sempre positiva, certo? Então:

4 - y 2 ≥ 0

Veja também que o valor máximo pra essa raiz é quando y = 0 , ou seja:

4 - 0 2 = 4 = 2 é o máximo que essa raiz pode atingir (porque o y 2 tá negativo, então qualquer valor aí vai diminuir a raiz)

Ou seja, a gente tem:

0 ≤ 4 - y 2 ≤ 2

Então se a gente somar 1 em todos os pedacinhos:

1 ≤ 1 + 4 - y 2 ≤ 3

E aí chegamos na nossa função, então a imagem é:

[ 1,3 ]

E encerramos por aqui nossa questão😉

Resposta

  1. F 3,1 = 1 + 3
  2. D = x , y 4 - y 2 ≥ 0 } → { ( x , y ) | x ∈ R ,   y ∈ - 2,2 }
  3. I m F = [ 1,3 ]
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