Enunciado

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Seja y = cos ⁡ ω t , ω constante. Verifique que

d 2 y d t 2 + ω 2 y = 0

Passo 1

Derivamos y em relação a t , usando a regra da cadeia, lembrando que ω é constante:

d y d t = cos ⁡ ω t '

d y d t = - sen ⁡ ω t ω t '

d y d t = - sen ⁡ ω t ω

d y d t = - ω sen ⁡ ω t

Passo 2

Usando a regra da cadeia novamente, obtemos a derivada de 2 ª ordem:

d 2 y d t 2 = - ω sen ⁡ ω t '

d 2 y d t 2 = - ω cos ⁡ ω t ω t '

d 2 y d t 2 = - ω cos ⁡ ω t ω

d 2 y d t 2 = - ω 2 cos ⁡ ω t

Passo 3

Agora só resta substituir y e sua segunda derivada no lado esquerdo da equação do enunciado para chegar a 0 , verificando que a equação é verdadeira:

d 2 y d t 2 + ω 2 y = - ω 2 cos ⁡ ω t + ω 2 cos ⁡ ω t = 0

d 2 y d t 2 + ω 2 y = 0

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Nos Exercícios 51-70, determine d y d t . 59. y =   ( t 2 t 3 - 4 t ) ³