Encontre a derivada da função

31) y = sen(tg 2x)

Passo 1

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra. E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra da Cadeia! Para começar vamos chamar:

u = t g   2 x

Então:

y = s e n   u

Muito bem, já achamos u e y, em função de u. Agora precisamos achar d y d x , mas como?

Bem fácil:

d y d x = d y d u . d u d x

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por d u d x . Então vamos derivar u com relação à x, mas aqui nós temos outra função dentro da tangente. Então usaremos novamente a Regra da Cadeia:

t = 2 x

E:

u = t g   t

Então:

d u d x = d u d t . d t d x

Vamos começar:

d u d t = s e c ²   t

Substituindo t:

d u d t = s e c ²   ( 2 x )

Próxima derivada:

d t d x = 2

Agoora sim:

d u d x = 2 s e c ²   ( 2 x )

Passo 3

Já achamos uma das derivadas, então precisamos só achar d y d u :

d y d u = cos ⁡ u

Substituindo u:

d y d x = 2 s e c ²   2 x . cos ⁡   ( t g   2 x )

Resposta

y ' = 2 s e c ²   2 x . cos ⁡   ( t g   2 x )

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