Enunciado

Encontre a derivada da função

17) f ( x ) = (2 x - 3)^4 (x^2 + x + 1)^5

Passo 1

Olá, amigo, Yuri aqui e estarei aqui lhe ajudando a resolver essa atividade.

A questão é bem direta e reta, quer que derivemos a função dada.

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra e uma multiplicação entre elas. E o que fazemos quando isso acontece?

Primeira coisa, usar a Regra do Produto. A regra do produto, como o nome diz é utilizada quando temos um produto entre duas funções e precisamos derivar. Matematicamente:

(𝑑)/(𝑑 𝑥) (𝑔 (𝑥) * h (𝑥)) = 𝑔 (𝑥) * ((𝑑 (h (𝑥)))/(𝑑 𝑥)) + h (𝑥) * ((𝑑 (𝑔 (𝑥)))/(𝑑 𝑥))

Passo 2

Chamando de:

g (x) = (2 x - 3)^4

h (x) = (x^2 + x + 1)^5

Vamos precisar da derivada para g e h, certo? E agora sim precisaremos da Regra da Cadeia. Pois como temos uma função composta, isso quer dizer, uma função dentro de outra função, precisamos utilizar a regra da cadeia. Para derivar g (x) em relação a t, podemos fazer:

(d g ( x ))/(d x) = (d g ( x ))/(d u) . (d u)/(d x)

Então vamos chamar:

u = 2 x - 3

E:

g (u) = u^4

Já sabemos como achar a derivada, mas primeiro achar cada derivada separadamente.

Vamos começar por (d u)/(d x) . Então vamos derivar u com relação à 𝑥 :

(d u)/(d x) = 2

Agora vamos derivar g(x) em função de u para achar (d g ( x ))/(d u) :

(d g ( x ))/(d u) = 4 u ³

Agora vamos colocar na derivada (d g ( x ))/(d x) :

(d g ( x ))/(d x) = 2 . ( 4 u ³ )

Substituindo u:

(d g ( x ))/(d x) = 8 ( 2 x - 3 ) ³

Passo 3

Para derivar h (x) em relação a 𝑥 , podemos fazer:

(d h ( x ))/(d x) = (d h ( x ))/(d u) . (d u)/(d x)

Então vamos chamar:

u = x^2 + x + 1

E:

h (u) = u^5

Já sabemos como achar a derivada, mas primeiro achar cada derivada separadamente.

Vamos começar por (d u)/(d x) . Então vamos derivar u com relação à 𝑥 :

(d u)/(d x) = 2 x + 1

Agora vamos derivar h(x) em função de u para achar (d h ( x ))/(d u) :

(d h ( x ))/(d u) = 5 u^4

Agora vamos colocar na derivada (d h ( x ))/(d x) :

(d h ( x ))/(d x) = 5 u^4 ( 2 x + 1 )

Substituindo u:

(d h ( x ))/(d x) = 5 ( x^2 + x + 1 )^4 ( 2 x + 1 )

Passo 4

Agora sim podemos achar a derivada de f(x) usando a Regra do Produto, certo? Lembre-se que a disposição da regra do produto é:

(𝑑)/(𝑑 𝑥) (𝑔 (𝑥) * h (𝑥)) = 𝑔 (𝑥) * ((𝑑 (h (𝑥)))/(𝑑 𝑥)) + h (𝑥) * ((𝑑 (𝑔 (𝑥)))/(𝑑 𝑥))

f^' (x) = 5 (2 x - 3)^4 (x^2 + x + 1)^4 (2 x + 1) + 8 (x^2 + x + 1)^5 ( 2 x - 3 ) ³

Isolando ( 2 x - 3 ) ³ (x^2 + x + 1)^4 :

f^' (x) = ( 2 x - 3 ) ³ (x^2 + x + 1)^4 [ 5 (2 x - 3) (2 x + 1) + 8 ( x^2 + x + 1 ) ]

Abrindo a equação:

f^' (x) = ( 2 x - 3 ) ³ (x^2 + x + 1)^4 ( 28 x^2 - 12 x - 7 )

Resposta

f^' (x) = ( 2 x - 3 ) ³ (x^2 + x + 1)^4 ( 28 x^2 - 12 x - 7 )

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