Encontre a derivada da função

17) f(x) = (2x - 3)^4 \* (x^2 + x + 1)^5

Passo 1

Olá, amigo, Yuri aqui e estarei aqui lhe ajudando a resolver essa atividade.

A questão é bem direta e reta, quer que derivemos a função dada.

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra e uma multiplicação entre elas. E o que fazemos quando isso acontece?

Primeira coisa, usar a Regra do Produto. A regra do produto, como o nome diz é utilizada quando temos um produto entre duas funções e precisamos derivar. Matematicamente:

𝑑 𝑑 𝑥 𝑔 𝑥 ∙ h 𝑥 = 𝑔 𝑥 ∙ 𝑑 h 𝑥 𝑑 𝑥 + h 𝑥 ∙ 𝑑 𝑔 𝑥 𝑑 𝑥

Passo 2

Chamando de:

g x = 2 x - 3 4

h x = x 2 + x + 1 5

Vamos precisar da derivada para g e h, certo? E agora sim precisaremos da Regra da Cadeia. Pois como temos uma função composta, isso quer dizer, uma função dentro de outra função, precisamos utilizar a regra da cadeia. Para derivar g x em relação a t, podemos fazer:

d g ( x ) d x = d g ( x ) d u . d u d x

Então vamos chamar:

u = 2 x - 3

E:

g u = u 4

Já sabemos como achar a derivada, mas primeiro achar cada derivada separadamente.

Vamos começar por d u d x . Então vamos derivar u com relação à 𝑥   :

d u d x = 2

Agora vamos derivar g(x) em função de u para achar d g ( x ) d u :

d g ( x ) d u = 4 u ³

Agora vamos colocar na derivada d g ( x ) d x :

d g ( x ) d x = 2 . ( 4 u ³ )

Substituindo u:

d g ( x ) d x = 8 ( 2 x - 3 ) ³

Passo 3

Para derivar h x em relação a 𝑥   , podemos fazer:

d h ( x ) d x = d h ( x ) d u . d u d x

Então vamos chamar:

u = x 2 + x + 1

E:

h u = u 5

Já sabemos como achar a derivada, mas primeiro achar cada derivada separadamente.

Vamos começar por d u d x . Então vamos derivar u com relação à 𝑥   :

d u d x = 2 x + 1

Agora vamos derivar h(x) em função de u para achar d h ( x ) d u :

d h ( x ) d u = 5 u 4

Agora vamos colocar na derivada d h ( x ) d x :

d h ( x ) d x = 5 u 4 ( 2 x + 1 )

Substituindo u:

d h ( x ) d x = 5 ( x 2 + x + 1 ) 4 ( 2 x + 1 )

Passo 4

Agora sim podemos achar a derivada de f(x) usando a Regra do Produto, certo? Lembre-se que a disposição da regra do produto é:

𝑑 𝑑 𝑥 𝑔 𝑥 ∙ h 𝑥 = 𝑔 𝑥 ∙ 𝑑 h 𝑥 𝑑 𝑥 + h 𝑥 ∙ 𝑑 𝑔 𝑥 𝑑 𝑥

f ' x = 5 2 x - 3 4 x 2 + x + 1 4 2 x + 1 + 8 x 2 + x + 1 5 ( 2 x - 3 ) ³

Isolando ( 2 x - 3 ) ³ x 2 + x + 1 4 :

f ' x =   ( 2 x - 3 ) ³ x 2 + x + 1 4 [ 5 2 x - 3 2 x + 1 + 8 ( x 2 + x + 1 ) ]

Abrindo a equação:

f ' x =   ( 2 x - 3 ) ³ x 2 + x + 1 4 ( 28 x 2 - 12 x - 7 )

Resposta

f ' x =   ( 2 x - 3 ) ³ x 2 + x + 1 4 ( 28 x 2 - 12 x - 7 )

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