Enunciado

Seja f x =   x e F definida por

F x = - 1 2 x 2   s e   x < 0 1 2 x 2   s e   0 ≤ x

Mostre que F é uma antiderivada f em - ∞ , + ∞ . Explique.

Passo 1

Se mostrarmos f x = F ' x então teremos que F é a antiderivada de f em todo o seu domínio. Então vamos derivar F   para fazer a verificação.

F ' x = - x   s e   x < 0 x   s e   0 ≤ x

Passo 2

Podemos ver que F ' x se assemelha muito com f x , no entanto ainda precisamos verificar um valor de F ' x para garantir, este valor é o valor de condição 0. Assim vamos analisar a função quando recebe 0.

lim x → 0 + ⁡ F ' x = 0

lim x → 0 - ⁡ F ' x = 0

lim x → 0 ⁡ F ' x = 0

Resposta

Então

F ' x = 0

Por tanto F x é antiderivada de f .

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