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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 5.1 - Ex. 38

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38. A inclinação da reta tangente num ponto qualquer (x,y) de uma curva é 3 x . Se o ponto (9,4) está na curva, ache uma equação para ela.

Passo 1

Vamos primeiramente entender as informações que nos foram dadas. Temos um ponto (9,4) isso significa que para nossa curva, quando x = 9   então f ( x ) = y = 4 . Sabe-se por base teórica que ao derivarmos uma função encontramos a inclinação de sua reta tangente, seguindo a mesma linha de pensamento, se integrarmos a inclinação da reta tangente encontramos a primitiva ( a curva procurada). Vamos ao trabalho.

Passo 2

Sabemos agora que para achar a equação da curva precisamos integrar a inclinação da reta tangente. Vamos chamar a função da inclinação da reta tangente de g ( x ) e a equação da curva (ou primitiva) de F x .   Dessa forma temos a seguinte analise:

F x = ∫ g x d x  

Logo, a primitiva pode ser encotrada da seguinte forma:

F x = ∫ 3 x d x

F x = 3 ∫ ( x ) d x

F x = 3 ∫ x 1 2   d x

F x = 3 x 1 2 + 1 1 2 + 1 + c

F x = 3 x 3 2 3 2 + c

F x = 2 x 3 2 + c

agora estamos perto de encontrar a equação da curva desejada.

Passo 3

Agora que integramos a inclinação da reta tangente, vamos analisar o ponto que nos foi dado pelo exercício. O ponto (9,4) significa que quando o x=9, y=4, dessa forma podemos escrever da seguinte maneira.

Se x = 9   então y = 4 . Isso significa que se substituirmos x por 9 na função da curva encontramos o valor 4. Com isso podemos achar a constante da curva.

F x = 2 x 3 2 + c

4 = 2 ( 9 ) 3 2 + c

4 = 2 9 3 + c

4 = 2 27 + c

4 = 54 + c

c = - 50

Com isso temos todas as partes fundamentais da equação da curva.

Resposta

A equação da curva:

F x = 2 x 3 2 - 50

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