Encontre d^2y/dx^2 :

y = x \* cos(5x) - sen^2(x)

Passo 1

E aí, tudo beleza?

A gente tem funções compostas, então a gente vai derivar de fora pra dentro, usando a regra da Cadeia, que é assim:

f g ' = f ' g ⋅ g '

Beleza?

A questão pede a segunda derivada, que é d 2 y / d x 2 , mas sem pânico, é só a gente derivar duas vezes, bora lá?

Passo 2

Vamos derivar a primeira vez. Veja que nossa função é uma subtração, então é só a gente derivada cada uma e manter o sinal ali do meio.

Vamos derivar separado?

( x cos ⁡ ( 5 x ) ) '   = x ' cos ⁡ 5 x + x   cos ⁡ 5 x '   ( r e g r a   d o   p r o d u t o   a t é   a q u i )

= 1 cos ⁡ 5 x + x   - s e n   5 x 5     ( r e g r a   d a   c a d e i a )

= cos ⁡ 5 x - 5 x   s e n   5 x  

Show! Essa primeira parte já foi!

O outro pedacinho da função é:

s e n 2 x ' = 2   s e n   x   s e n   x '   = 2   s e n   x cos ⁡ x  

Prontinho! A primeira derivada já foi, só juntar as duas respostas até aqui:

d y d x = cos ⁡ 5 x - 5 x   s e n   5 x - 2   s e n   x cos ⁡ x  

Passo 3

Agora pra fazer a derivada segunda, é só a gente derivar essa expressão aí de novo...

Eu vou separar em três aqui pra a gente não esquecer de nada:

( cos ⁡ 5 x ) '   =   - s e n   5 x   5 x ' =   - 5 s e n   5 x ⏟

- 5 x   s e n   5 x ' = - 5 x ' s e n   5 x + - 5 x s e n   5 x ' =   - 5   s e n   5 x - 5 x cos ⁡ 5 x   ( 5 )

- 5   s e n   5 x - 5 x cos ⁡ 5 x   5 =   - 5   s e n   5 x - 25 x cos ⁡ 5 x ⏟

- 2   s e n   x cos ⁡ x ' = - 2   s e n   x ' ( cos ⁡ x ) + - 2   s e n   x ( cos ' ⁡ x ) =   - 2 cos ⁡ x cos ⁡ x - 2   s e n   x   - s e n   x =   - 2 cos 2 ⁡ x + 2   s e n 2 x ⏟

Juntando todos os pedacinhos agora, temos nossa derivada segunda:

d 2 y d x 2 = - 5 s e n   5 x - 5   s e n   5 x - 25 x cos ⁡ 5 x   - 2 cos 2 ⁡ x + 2   s e n 2 x

d 2 y d x 2 =   - 10   s e n   5 x - 25 x cos ⁡ 5 x   - 2 cos 2 ⁡ x + 2   s e n 2 x  

Resposta

d 2 y d x 2 =   - 10   s e n   5 x - 25 x cos ⁡ 5 x   - 2 cos 2 ⁡ x + 2   s e n 2 x  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados