Enunciado

Encontre d^2 y // d x^2 :

y = x cos ( 5 x ) - s e n^2 x

Passo 1

E aí, tudo beleza?

A gente tem funções compostas, então a gente vai derivar de fora pra dentro, usando a regra da Cadeia, que é assim:

(f (g))^' = f^' (g) * g '

Beleza?

A questão pede a segunda derivada, que é d^2 y // d x^2 , mas sem pânico, é só a gente derivar duas vezes, bora lá?

Passo 2

Vamos derivar a primeira vez. Veja que nossa função é uma subtração, então é só a gente derivada cada uma e manter o sinal ali do meio.

Vamos derivar separado?

( x cos ( 5 x ) ) ' = (x)^' (cos 5 x) + x (cos 5 x)^' ( r e g r a d o p r o d u t o a t é a q u i )

= 1 cos 5 x + x (- s e n 5 x) (5) ( r e g r a d a c a d e i a )

= cos 5 x - 5 x s e n 5 x

Show! Essa primeira parte já foi!

O outro pedacinho da função é:

(s e n^2 x)^' = 2 s e n x (s e n x)^' = 2 s e n x cos x

Prontinho! A primeira derivada já foi, só juntar as duas respostas até aqui:

(d y)/(d x) = cos 5 x - 5 x s e n 5 x - 2 s e n x cos x

Passo 3

Agora pra fazer a derivada segunda, é só a gente derivar essa expressão aí de novo...

Eu vou separar em três aqui pra a gente não esquecer de nada:

( cos 5 x ) ' = - s e n (5 x) (5 x)^' = ubrace - 5 s e n 5 x

(- 5 x s e n 5 x)^' = (- 5 x)^' (s e n 5 x) + (- 5 x) (s e n 5 x)^' = - 5 s e n 5 x - 5 x cos 5 x ( 5 )

- 5 s e n 5 x - 5 x cos 5 x (5) = ubrace - 5 s e n 5 x - 25 x cos 5 x

(- 2 s e n x cos x)^' = (- 2 s e n x)^' ( cos x ) + (- 2 s e n x) ( cos^' x ) = - 2 cos x cos x - 2 s e n x (- s e n x) = ubrace - 2 cos^2 x + 2 s e n^2 x

Juntando todos os pedacinhos agora, temos nossa derivada segunda:

(d^2 y)/(d x^2) = - 5 s e n 5 x - 5 s e n 5 x - 25 x cos 5 x - 2 cos^2 x + 2 s e n^2 x

(d^2 y)/(d x^2) = - 10 s e n 5 x - 25 x cos 5 x - 2 cos^2 x + 2 s e n^2 x

Resposta

(d^2 y)/(d x^2) = - 10 s e n 5 x - 25 x cos 5 x - 2 cos^2 x + 2 s e n^2 x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a derivada indicada.(d)/(d x) (sqrt((cos x - 1)/(s e n x)))
Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.42. g x =t g ( 3 x ) ( x + 7 ) 4
Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.32. y = ( 5 - 2 x ) - 3 + 1 8 ( 2 x + 1 ) 4
Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.31. y =1 21 ( 3 x - 2 ) 7 + ( 4 - 1 2 x 2 ) - 1
Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.36. y = 1 + 2 x . e - 2 x