Enunciado

Use a derivação implícita para encontrar del z // del x e del z // del y .

x^2 - y^2 + z^2 - 2 z = 4

Passo 1

Esse aqui é um problema de derivação implícita! Nos foi dado uma relação entre x , y e z que determina implicitamente z como função de x e y , isto é, z = z ( x , y ) . Queremos encontrar as derivadas parciais de z .

Derivando a equação com relação x e mantendo y constante:

2 x - 0 + 2 z (del z)/(del x) - 2 (del z)/(del x) = 0

Desta forma,

(1 - z) (del z)/(del x) = x

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(del z)/(del x) = (x)/(1 - z)

Passo 2

Analogamente, com relação a y :

0 - 2 y + 2 z (del z)/(del y) - 2 (del z)/(del y) = 0

Logo,

(z - 1) (del z)/(del y) = y => (del z)/(del y) = (y)/(z - 1)

Resposta

(del z)/(del x) = (x)/(1 - z)

(del z)/(del y) = (y)/(z - 1)

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