Enunciado

Seja f derivável até 2ª ordem no intervalo I e seja x 0 ∈ I . Mostre que existe uma função ϕ ( x ) definida em I tal que, para todo x em I

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ϕ x x - x 0 2

Com lim x → x 0 ⁡ ϕ x = 0

Passo 1

Para mostrar que existe uma função para todo x em I que satisfaz lim x → x 0 ⁡ ϕ x = 0

Passo 2

Aqui temos que inverter a equação

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ϕ x x - x 0 2

ϕ x = f x - f x 0 x - x 0 2 - f ' x 0 x - x 0 - f ' ' x 0 2

Onde

lim x → x 0 ⁡ ϕ x = 0

Passo 3

Fazendo

0 = l i m x → x 0 f x - f x 0 x - x 0 2 - l i m x → x 0 f ' x 0 x - x 0 - l i m ⁡   x → x 0 f ' ' x 0 2

Logo para existir ϕ   tem que existir esse limite

0 = l i m x → x 0 f ' x - f ' x 0 2 x - x 0 - l i m x → x 0 f ' ' ( x 0 )

Portanto

l i m x → x 0 f ' ' x 0 = l i m x → x 0 f ' x - f ' x 0 2 x - x 0

Logo existe o polinômio desde que exista tal limite

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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