Seja f derivável até 2ª ordem no intervalo fechado [a, b] e seja x_0 pertence [a, b] . Mostre que existem M > 0 tal que, para todo x em [a, b]

|f(x) - P(x)| <= M |x - x_0|^2

Onde P(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + (f''(x_0)/2)(x - x_0)^2

Passo 1

Para mostrar que existe M > 0   para esta situação vamos ter que comprar as duas expressões.

Para ela ser valida vamos fazer,

f ' ' x 0 2 x - x 0 2 =   M x - x 0 2

Como ela é derivável a 2ª ordem temos,

f ' ' x 0 = M

Usando o teorema

| f x - P x | ≤ M 2 x - x 0 2  

Logo existe M

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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