Enunciado

Seja f x = x 3 + 3 x .

  1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 0 .
  2. Estude o sinal de f ' x .
  3. Esboce o gráfico de f .

Passo 1

  1. Vamos lá, primeiro vamos ver como é a forma da equação da reta tangente em f no ponto de abscissa 0 , que é P 0 , f 0 :
  2. y - f 0 = m x - 0

    Vamos achar quem é f 0 :

      f 0 = 0 3 + 3 ⋅ 0 = 0

    E o coeficiente angular m é igual a derivada no ponto que queremos:

    m = f ' 0

    Passo 2

    Agora vamos achar m :

    Vamos analisar a função, é um polinômio, vamos ter que usar a fórmula da derivada de polinômio e da multiplicação por constante:

    Do polinômio:

    x n ' = n x n - 1

    Da multiplicação por constante:

    k f x ' = k f ' ( x )

    Agora é só aplicar, vamos lá?

    f ' x = x 3 ' + 3 x ' = 3 x 3 - 1 + 3 x ' = 3 x 2 + 3 x 1 - 1 = 3 x 2 + 3

    Passo 3

    Agora é só aplicar no valor que queremos:

    m = f ' 0 = 3 ⋅ 0 2 + 3 = 3

    Por último é só substituir na equação da reta:

    y - f 0 = m x - 0 → y - 0 = 3 x - 0 → y = 3 x

    Passo 4

  3. Vamos agora estudar o sinal, como achamos que f ' x = 3 x 2 + 3 , f ' x vai ser sempre positivo, não importa o valor de x , assim:
  4. f ' x > 0 em R

    Passo 5

  5. Vamos fazer um esboço do gráfico da função utilizando as raízes e atribuindo alguns pontos aleatórios, assim temos:

Resposta

  1. y = 3 x  
  2. f ' x > 0 em R
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Se for dada uma equação da reta tangente no ponto a , f a de uma curva y = f x , como poderíamos calcular f ' a ?Dado que a equação da reta tangente ao gráfico de y = f x no ponto 2,5 é y = 3 x - 1 ,
Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a . f x = 2 x 3 + 1 ; a = - 1
Use o gráfico de y = f x na figura abaixo para obter uma estimativa do valor de f ' 1 , f ' 3 , f ' 5 e f ' 6 .
Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a . f x = x + 1 ; a = 8
Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a . f x = 1 x 2 ; a = - 1