Seja f(x, y) diferenciável em R^2 e tal que para todo (x, y)

  1. ∂f/∂x + ∂f/∂y = 0
  1. Verifique que a função g(u, v) dada por f(x, y) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂g/∂u = 0 .. Conclua que g(u, v) = φ(v) para alguma função definida e diferenciável em R.
  2. Determine uma família de soluções da equação 1).
  3. f(x, y) = (e^((x-y)^2) + arctg(sen(x-y)) + ln[1 + (x-y)^2]) / ((x-y)^2 - 5) verifica 1)? (não precisa fazer as contas.)

Passo 1

Vamos resolver primeiro o item a.

Usando a regra da cadeia,

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x ⋅ d x d u + ∂ f ∂ y ⋅ d y d u

Como x = u + v ⇒ d x d u = 1 e y = u   ⇒ d y d u . Daí,

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0  

Usando a hipótese.

Passo 2

Vamos resolver o item b.

Perceba que precisamos de uma função que quando derivamos com respeito as variáveis, eles se cancelam, então, nela, deve aparecer x e y com sinais trocados. Escolhemos essa família aqui, ó,

f x , y = e x + y + C

Que tem derivadas parciais,

∂ f ∂ x =   e x - y

-   ∂ f ∂ y =   e x - y   ⋅ - 1

E somando se cancelam. Hihiihih

Passo 3

Vamos resolver o item c.

Perceba que não verifica, só de da uma olhada, da pra ver que as derivadas em relação a x e y

Em alguns pontos não troca o sinal.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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