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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Um curso de Cálculo Volume 2 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - 12.1 - 34

Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y )

  1. ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0
  1. Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que g u , v = φ ( v   ) para alguma função definida e diferenciável em R .
  2. Determine uma família de soluções da equação 1).
  3. f x , y = e x - y 2 + a r c   t g   s e n x - y + ln ⁡ 1 + x - y 2 x - y 2 - 5 verifica 1)? (não precisa fazer as contas.)

Passo 1

Vamos resolver primeiro o item a.

Usando a regra da cadeia,

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x ⋅ d x d u + ∂ f ∂ y ⋅ d y d u

Como x = u + v ⇒ d x d u = 1 e y = u   ⇒ d y d u . Daí,

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0  

Usando a hipótese.

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Passo 2

Vamos resolver o item b.

Perceba que precisamos de uma função que quando derivamos com respeito as variáveis, eles se cancelam, então, nela, deve aparecer x e y com sinais trocados. Escolhemos essa família aqui, ó,

f x , y = e x + y + C

Que tem derivadas parciais,

∂ f ∂ x =   e x - y

-   ∂ f ∂ y =   e x - y   ⋅ - 1

E somando se cancelam. Hihiihih

Passo 3

Vamos resolver o item c.

Perceba que não verifica, só de da uma olhada, da pra ver que as derivadas em relação a x e y

Em alguns pontos não troca o sinal.

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