Enunciado

Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em ( a , b ) , tal que

f ' c = f b - f a b - a

Interpretar geometricamente.

(e) f x = cos ⁡ x ; a = 0 ,   b = π 2 .

Passo 1

Bom, pessoal, para sabermos se o Teorema do Valor Médio se aplica, precisamos saber se a f ( x ) é contínua no intervalo dado. No intervalo [ 0 , π / 2 ] , temos que a função f x = cos ⁡ x é contínua e derivável.

Assim, vamos calcular f ' ( c ) !

f ' x = - sen ⁡ x

f ' c = - sen ⁡ c = cos ⁡ π 2 - cos ⁡ 0 π 2 - 0

Vamos substituir os valores aqui. Como a = 0 e b = π / 2 .

- sen ⁡ c = 0 - 1 π 2

- sen ⁡ c = - 2 π

c = arcsin ⁡ 2 π

Passo 2

Interpretação geométrica: a figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c , representada pela cor azul é paralela à reta secante que passa nos pontos ( a , f a ) e ( b , f b ) , representada na cor verde.

Resposta

O número c é igual a:

c = arcsin ⁡ 2 π

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O gráfico de uma função f é mostrado. Verifique se f satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo [0,8]. Então, estime os valores de c que satisfazem a conclusão do Teorema nesse intervalo.
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Verifique se a função satisfaz às 3 hipóteses do teorema de Rolle no intervalo dado e ache todos os valores que satisfaçam a conclusão. f x = x ³ - 2 x 2 - 4 x + 2 , - 2 ,2 ³