Usando o teorema do valor médio provar que:

  1. |sen(θ) - sen(α)| ≤ |θ - α|, ∀ θ, α ∈ R ;
  2. sen(theta) <= theta, theta >= 0 .

Passo 1

Bom, pessoal, para que possamos usar o teorema do valor médio, precisamos saber se f ( x ) é uma função contínua e derivável em R . Seja f x = sen ⁡ x . A função é contínua e derivável em R . Considerando-se f contínua em θ , α e derivável em θ , α → ∃   c ∈ ( θ , α ) . Assim,

f ' c = f b - f a b - a

cos ⁡ c = sen ⁡ α - sen ⁡ θ α - θ

cos ⁡ c = sen ⁡ α - sen ⁡ θ α - θ

cos ⁡ c = sen ⁡ θ - sen ⁡ α θ - α

Fazendo a multiplicação cruzada, temos:

cos ⁡ c θ - α = | sen ⁡ θ - sen ⁡ α |

Como cos ⁡ c ≤ 1 ,

sen ⁡ θ - sen ⁡ α ≤ θ - α   p a r a   θ . α ∈ R

Pronto! Conforme queremos demonstrar 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados