Enunciado

( a ) Mostre que a função valor absoluto F x = x é contínua em toda parte.

( b ) Demonstre que se f for uma função contínua em um intervalo, então f também é.

( c ) A recíproca da afirmação da parte ( b ) também é verdadeira? Em outras palavras, se f for contínua, segue que f também é? Se for assim, demonstre isso. Caso contrário, encontre um contraexemplo.

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😎

Nesse problema foi dada algumas afirmações e nosso objetivo é julgar cada uma delas e provar ou refutá-la.

Veja só! 😉

Passo 2

No item a) temos que mostrar que a função valor absoluto F x = x é contínua em toda parte.

Bom, galera, nesse exercício queremos demonstrar que a função     F x = x é contínua em toda parte. Para isso, iremos analisar os possíveis valores da função e entender seu comportamento.

Vamos pensar no que acontece com a função módulo pra diferentes valores de x .

Para um número qualquer a . Se a > 0

lim x → a ⁡ F x = lim x → a ⁡ x = a = F ( a )

Dessa forma, para a > 0 nossa função é contínua em todos os valores positivos.

Se a < 0

lim x → a ⁡ F x = lim x → a ⁡ ( - x ) = - a = F ( a )

Dessa forma, para a < 0 nossa função é contínua em todos os valores negativos.

Se a = 0

lim x → 0 + ⁡ F x = lim x → 0 - ⁡ F x = lim x → 0 ⁡ F x = 0

Assim, F ( x ) é contínua em toda parte.

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

No item b) teremos que provar que se a função f for contínua em um intervalo, então f também é.

E faremos isso usando uma propriedade do limite que diz que

lim x → a ⁡ f ( g x ) = f lim x → a ⁡ g x

Com isso, podemos passar o limite para dentro do módulo e teremos:

lim x → a ⁡ f ( x ) = lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Dessa forma, se f for contínua em um intervalo, então f também é.

Legal, né? 😁

Passo 4

E para o item c) temos que provar que se recíproca da afirmação da parte b) também é verdadeira? Em outras palavras, se f for contínua, segue que f também é?

Aqui já podemos admitir que a recíproca não é verdadeira e uma função que pode exemplificar isso é a função

f x = 1           s e   x ≥ 0 - 1     s e   x < 0

Perceba que função f ( x ) não é contínua para x = 0 , mas f ( x ) = 1 é contínua em toda parte.

E aí! o que achou? Responde Aí! 😎

Resposta

a) F ( x ) é contínua

b) lim x → a ⁡ f ( x ) = lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

c) Não é verdadeira

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