Seja f x = x ,   s e   x < 1 x 2 ,   s e   1 ≤ x ≤ 9 27 x ,   s e   x > 9 . Verifique que f tem uma inversa e encontre f^(-1)(x) .

Passo 1

Vamos começar a avaliar trecho a trecho para encontrar a inversa dessa função.

  • Para x < 1 , temos que y = x ;
  • Para 1 ≤ x ≤ 9 , temos y = x 2   ∴ x = y ;
  • Para x > 9 , temos y = 27 x   ∴ x = y 27 2 .

O domínio para cada trecho muda também!

  • Quando y = x , y < 1 ;
  • Quando y = x 2 , 1 2 ≤ y ≤ 9 2 → 1 ≤ y ≤ 81 ;
  • Quando y = 27 x , y > 27 × 9 → y > 81

Dessa forma, a nossa função inversa g ( x ) será igual a:

g x = y ,     y < 1 y ,     1 ≤ y ≤ 81 y 27 2 ,     y > 81  

Ou, de outra forma:

f - 1 x = x ,     x < 1 x ,     1 ≤ x ≤ 81 x 27 2 ,     x > 81

Pronto, verificação feita!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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