Enunciado

Seja g x = ∫ 0 x f ( t ) d t , em que f é a função cujo gráfico é mostrado. (a) Calcule g 0 e   g ( 6 ) ; (b) Estime g ( x ) para x = 1 ,   2 ,   3 ,   4   e   5 ; (c) Em que intervalo g está crescendo?; (d) Onde g tem um valor máximo?; (e) Faça um esboço do gráfico de g ; (f) Use o gráfico da parte (e) para esboçar o gráfico de g ' ( x ) . Compare com o gráfico de f .

Passo 1

Opa, bora resolver essa questão?! Temos vários itens para responder, o enunciado nos dá o seguinte gráfico da função f ( x ) :

Sabendo que g x = ∫ 0 x f ( t ) d t , a letra (a) pede pra a gente calcular g 0   e   g ( 6 ) .

Primeiro de tudo, vamos lembrar que a integral de uma função é a área embaixo da curva, no gráfico. E se essa área estiver abaixo do eixo x, então a integral tem valor negativo.

Então vamos la!

g 0 = ∫ 0 0 f t d t = 0

Como temos uma integral com os limites de integração iguais, o valor resultante dela é igual a zero. Para g ( 6 ) , teremos:

g 0 = ∫ 0 6 f t d t = 0

Isso porque que a área abaixo e acima do eixo x são iguais, assim a “área positiva” cancela a “área negativa”. Sacou?!

Passo 2

Na letra (b) queremos estimar g ( x ) para x = 1 ,   2 ,   3 ,   4   e   5 . Vamos trazer o gráfico pra pertinho:

Para x = 1 , o valor de g ( 1 ) compreende a área sob curva, de 0 a 1 , podemos aproximar essa área como um trapézio deitado, assim:

A base maior é igual a 3 e a menor a gente pode estimar como 2,6 . Já a altura vai ser igual a 1 . Calculamos a integral como a área do trapézio:

∫ 0 1 f t d t = 3 + 2,7 1 2 = 2,85

Para x = 2 fazemos a mesma coisa, assim:

A base maior mede 3 e a menor podemos estimar como 2,6 , a altura aqui é igual a 2 . Assim:

∫ 0 3 f t d t = 3 + 2,6 2 2 = 5,6

Para x = 3 , o valor de g ( 3 ) compreende a área abaixo da curva, de 0 a 3 . Usando a mesma técnica de aproximação ficamos com um triângulo:

∫ 0 3 f t d t = 3 × 3 2 = 4,5

para x = 4   e   5 temos uma parte da curva abaixo do eixo x , assim vamos fazer:

∫ 0 4 f t d t = ∫ 0 3 f t d t - ∫ 3 4 f t d t

Para o intervalo ( 3,4 ) podemos aproximar como um triângulo:

Vamos dizer estimar a base como:

b = 3,5 - 3 = 0,5

∫ 3 4 f t d t = 0,5 × 1 2 = 0,25

Então:

∫ 0 4 f t d t = 5,6 - 2,5 = 3,1

Agora finalmente o último, x = 5 . De novo podemos aproximar como um triângulo:

Podemos estimar a base como:

b = 4,2 - 3 = 1,2

Assim:

∫ 3 5 f t d t = 1,2 × 2 2 = 1,2

Juntando com a parte positiva:

∫ 0 4 f t d t = 5,6 - 1,2 = 4,4

Passo 3

Na letra (c) queremos saber o intervalo em que g está crescendo. Como podemos observar no passo anterior, a medida que andamos de x = 0 para x = 3 , o valor da função g aumenta. Logo, g é crescente no intervalo [ 0,3 ] .

Passo 4

Na letra (d) queremos saber onde tem um ponto de máximo em g . Bom, na letra (c) vimos que no intervalo [ 0,3 ] a função é crescente e no intervalor [3,6] a função se torna descrescente. O ponto onde ocorre a troca de sentido é em x = 3 . Logo, x = 3 é onde g possui valor máximo.

Passo 5

Aqui queremos esboçar o gráfico de g . Bom, o gr��fico deve ter um ponto de máximo em x = 3 , deve ser simétrico em relação a x = 3 e ter raízes em x = 0 e x = 6 . Logo,

Passo 6

Lá do enunciado temos que:

g x = ∫ 0 x f ( t ) d t

Então o gráfico de g ' ( x ) deve ser igual ao gráfico de f ( t ) que é assim:

Prontinho!

Resposta

  1. g 0 = g 6 = 0 ;
  2. g 1 = 2,8 ; g 2 = 4,9 ; g 3 = 5,7 ; g 4 = 4,9 ; g 5 = 2,8 ;
  3. g aumenta no intervalo (0,3);
  4. g tem valor máximo em x = 3 ;
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