Enunciado

Com quais valores de x é verdade que:

  1. arc cos (cos (x)) = x
  2. cos (arc cos (x)) = x
  3. arc tg (tg (x)) = x
  4. tg (arc tg (x)) = x

Passo 1

Fala galera, tudo ok? Olha, temos só funções inversas aí. Então, no exemplo abaixo, onde:

y = arc cos (x)

Estamos dizendo que y é o arco cujo cosseno é x . Como isso é o mesmo que dizer que cosseno de y x , podemos escrever:

cos (y) = x

Vamos usar essa ideia pra modificar o enunciado das letras b e d primeiro, ok? Usando as funções trigonométricas correspondentes, temos:

b ) cos (arc cos (x)) = x

d ) tg (arc tg (x)) = x

Se transformando em:

b ) cos (arc cos (x)) = cos (y)

d ) tg (arc tg (x)) = tg (y)

E igualando os argumentos:

b ) y = arc cos (x)

d ) y = arc tg (x)

Como a questão pede os valores de x válidos para essa igualdade e agora temos y = f (x) , pra essas duas letras é o mesmo que responder o domínio dessas funções! Perfeito! Vamos ter:

b ) x in [- 1,1]

d ) x in ] - oo , + oo [

Passo 2

Beleza povo, faltaram as letras a e c :

a ) arc cos (cos (x)) = x

c ) arc tg (tg (x)) = x

Vamos usar uma lógica parecida aqui, beleza? Só que dessa vez vamos chamar de y a função no interior da inversa trigonométrica. Para a letra a , teremos:

y = cos (x)

Note que:

- 1 <= y <= 1

Por causa da natureza da função cosseno. Pô galera, pra letra c então vamos ter algo parecido:

y = tg (x)

- oo <= y <= oo

O enunciado se torna:

a ) x = arc cos (y)

c ) x = arc tg (y)

Aqui galera, se imaginarmos x = f (y) , sabemos o domínio dessas funções pois sabemos os intervalos válidos de y . Encontrar os valores válidos de x nada mais é do que achar a imagem dessas funções trigonométricas inversas! Vamos ter:

a ) x in [0 , pi]

c ) x in ] - (pi)/(2) , (pi)/(2) [

Resposta

  1. x in [0 , pi]
  2. x in [- 1,1]
  3. x in ] - (pi)/(2) , (pi)/(2) [
  4. x in ] - oo , + oo [
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