Com quais valores de x é verdade que:

  1. arc cos(cos(x)) = x
  2. cos(arc cos(x)) = x
  3. arc tg(tg(x)) = x
  4. tg(arc tg(x)) = x

Passo 1

Fala galera, tudo ok? Olha, temos só funções inversas aí. Então, no exemplo abaixo, onde:

y = arc cos ⁡ x

Estamos dizendo que y é o arco cujo cosseno é x . Como isso é o mesmo que dizer que cosseno de y x , podemos escrever:

cos ⁡ y = x

Vamos usar essa ideia pra modificar o enunciado das letras b e d primeiro, ok? Usando as funções trigonométricas correspondentes, temos:

b )   cos ⁡ arc cos ⁡ x = x

d )   tg ⁡ arc tg ⁡ x = x

Se transformando em:

b )   cos ⁡ arc cos ⁡ x = cos ⁡ y

d ) tg ⁡ arc tg ⁡ x = tg ⁡ y

E igualando os argumentos:

b )   y = arc cos ⁡ x

d )   y = arc tg ⁡ x

Como a questão pede os valores de x válidos para essa igualdade e agora temos y = f x , pra essas duas letras é o mesmo que responder o domínio dessas funções! Perfeito! Vamos ter:

b )   x ∈       - 1,1

d )   x ∈       ] - ∞ , + ∞ [

Passo 2

Beleza povo, faltaram as letras a e c :

a )   arc cos ⁡ cos ⁡ x = x

c )   arc tg ⁡ tg ⁡ x = x

Vamos usar uma lógica parecida aqui, beleza? Só que dessa vez vamos chamar de y a função no interior da inversa trigonométrica. Para a letra a , teremos:

y = cos ⁡ x

Note que:

- 1 ≤ y ≤ 1

Por causa da natureza da função cosseno. Pô galera, pra letra c então vamos ter algo parecido:

y = tg ⁡ x

- ∞ ≤ y ≤ ∞

O enunciado se torna:

a )   x = arc cos ⁡ y

c )   x = arc tg ⁡ y

Aqui galera, se imaginarmos x = f y , sabemos o domínio dessas funções pois sabemos os intervalos válidos de y . Encontrar os valores válidos de x nada mais é do que achar a imagem dessas funções trigonométricas inversas! Vamos ter:

a )   x ∈ 0 , π

c )   x ∈ ] - π 2 , π 2 [

Resposta

  1. x ∈ 0 , π
  2. x ∈       - 1,1
  3. x ∈       ] - π 2 , π 2 [
  4. x ∈       ] - ∞ , + ∞ [
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