Seja f(x, y) uma função homogênea de grau n . Mostre que:

x (\partial f / \partial x) + y (\partial f / \partial y) = n f

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, se pegarmos u = y x , por homogeneidade, temos que:

f x , y = x n f 1 , y x = x n f ( 1 , u )

Agora, aplicando as regras de derivação parcial, temos:

∂ f ∂ x = x n ∂ f 1 , u ∂ u ∂ u ∂ x + n   x n - 1 f 1 , u = x n ∂ f 1 , u ∂ u - y x 2 + n x n - 1 f ( 1 , u )

= - y x n - 2 ∂ f 1 , u ∂ u + n x n - 1 f ( 1 , u )

Passo 2

Derivando em y agora:

∂ f ∂ y = x n ∂ f 1 , u ∂ u ∂ u ∂ y = x n ∂ f 1 , u ∂ u 1 x = x n - 1 ∂ f 1 , u ∂ u

Substituindo isso na equação da questão...

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = n f

= - y x n - 1 ∂ f 1 , u ∂ u + n x n f 1 , u + y x n - 1 ∂ f 1 , u ∂ u

n x n f 1 , u = n x n f 1 , y x = n   f x , y

E assim provamos o que a questão pedia😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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