Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1 - Capítulo 2.3 - Ex. 39

Nos problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

x + x y d y d x + x - y = x - 1 2 y 3 2     y 1 = 1  

Passo 1

Opa, tudo beleza? Bora resolver essa equação!

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. A gente pode fazer y = u x     o u     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Olhando nossa equação...

x + x y d y d x + x - y = x - 1 2 y - 3 2    

x + x y d y = x - 1 2 y 3 2 - x + y d x

Vemos que a parte N ( x , y ) é simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

x + x y d y = x - 1 2 y 3 2 - x + y d x

x + u x 2 u d x + x   d u = x - 1 2 x u 3 2 - x + u x d x

x u   d x + x 2 d u + x u 3 2 + x 2 u   d u = x u 3 2 d x - x   d x + u x   d x

x 2 d u + x 2 u   d u = - x   d x

x   d u + x u d u =   - d x

u + 1 d u = - d x x

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ - d x x = ∫ u + 1 d u

- ln ⁡ | x | = u + 2 3 u 3 2 + C

Como y = u x , temos u = y x :

ln ⁡ | x | + y x + 2 3 y x 3 2 = C

Bom, chegamos a solução geral, mas a gente tem um problema de valor inicial, então temos que usar pra descobrir esse C aí...

Passo 4

Bom, temos que y 1 = 1 , então vamos substituir isso na equação:

ln ⁡ | x | + y x + 2 3 y x 3 2 = C

ln ⁡ 1 + 1 + 2 3 1 3 2 = C

0 + 1 + 2 3 = C

C = 5 3

Então a solução do problema de valor inicial é:

ln ⁡ | x | + y x + 2 3 y x 3 2 = 5 3

Prontinho! 😉

Resposta

ln ⁡ | x | + y x + 2 3 y x 3 2 = 5 3

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