Enunciado

Nos problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

y 2 + 3 x y d x = 4 x 2 + x y d y ;     y 1 = 1

Passo 1

Opa, tudo beleza? Bora resolver essa equação!

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. A gente pode fazer y = u x     o u     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Olhando nossa equação...

y 2 + 3 x y d x = 4 x 2 + x y d y

Bom, aqui tanto faz, vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

y 2 + 3 x y d x = 4 x 2 + x y d y

u 2 x 2 + 3 u x 2 d x = 4 x 2 + u x 2 u   d x + x   d u

u 2 x 2 d x + 3 u x 2 d x = 4 u x 2 d x + 4 x 3 d u + u 2 x 2 d x + u x 3 d u

- u x 2 d x = 4 x 3 d u + u x 3 d u

- u   d x = 4 x   d u + u x   d u

- u   d x = x d u ( 4 + u )

- d x x = 4 + u u   d u

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ - d x x = ∫ 4 + u u d u

- ln ⁡ | x | = 4 ln ⁡ | u | + u + C

ln ⁡ x ⋅ u 4 + u = C

x u 4 = c 1 e - u

Como y = u x , temos u = y x :

x y 4 x 4 = c 1 e - y x  

y 4 = c 1 x 3 e - y x

Bom, chegamos a solução geral, mas a gente tem um problema de valor inicial, então temos que usar pra descobrir esse C aí...

Passo 4

Bom, temos que y 1 = 1 , então vamos substituir isso na equação:

y 4 = c 1 x 3 e - y x

1 4 = c 1 1 1 3 e - 1 1

1 = c 1 e

c 1 = e

Então a solução do problema de valor inicial é:

y 4 = e x 3 e - y x

Prontinho! 😉

Resposta

y 4 = e x 3 e - y x

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