Enunciado

Seja σ t uma função vetorial não identicamente nula e de classe C 1 . Suponha que o vetor σ t é paralelo a σ ' t . Mostre que existe um vetor constante A e uma função real positiva f t tal que σ t = A   f t ,   ∀ t .

Passo 1

Pra começar, bora lembrar que uma função vetorial σ t de classe C 1 é uma função na qual σ t é diferenciável e σ ' t é contínua em todo o domínio. Show, já que é assim, como:

σ t = A   f t

Já que A é um vetor contante, as propriedades do vetor acabam caindo pra função! Galera, isso quer dizer que deve existir f t que seja real, positiva, diferenciável e cuja derivada é contínua. Será que têm? Bem, seja:

A = a , b , c

Então temos:

σ t = a f t , b f t , c f t

E a derivada fica:

σ ' t = a f ' t , b f ' t , c f ' t

σ ' t = a , b , c f ' t

σ ' t = A   f ' t

Passo 2

Agora vamos lembrar que pra vetores serem paralelos, deve ser verdade que:

σ t = k σ ' t

Logo:

A   f t = k A   f ' t

  f t = k   f ' t

Show, agora acabamos, porque se tivermos:

f t = m   e n t   ,     m > 0

Temos todos os requisitos, pois a função exponencial proposta:

  • É real
  • É positiva
  • É diferenciável em todo seu domínio
  • Sua derivada f ' t = m n   e n t é contínua
  • Satisfaz   f t = k   f ' t para k = 1 n

Resposta

Uma função real positiva f t = m   e n t   e um vetor constante A satisfazem a condição de paralelismo σ t = k σ ' t do vetor σ t de classe C 1 tal que σ t = A   f t ,   ∀ t .

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