Enunciado

64- Seja F (x) = int_(sqrt(3))^x a r c t g t d t . Encontre

a) F ( sqrt(3) )

b) F ´ ( sqrt(3) )

c) F ´ ´ ( sqrt(3) )

Passo 1

a)Queridosss, aqui F ( sqrt(3) ) é igual à zero. Why ???

A partir do momento em que o exercício pede F ( sqrt(3) ) , nós temos que o extremo de integração vai de sqrt(3) a sqrt(3) . Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, Parte I:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Dessa forma,

F (sqrt(3)) = int_(sqrt(3))^(sqrt(3)) a r c t g t d t = f (sqrt(3)) - f ( sqrt(3) )

= 0

Sacou ?!

Passo 2

b) Galera, a primeira coisa aqui é nós lembrarmos a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo:

Se f for contínua em um intervalo, então f terá uma antiderivada nesse intervalo. Em particular, se a for um ponto qualquer desse intervalo, então a função f definida por

F (x) = int_a^x f (t) d t

É uma antiderivada de f nesse intervalo; isto é, F ´ (x) = f ( x ) para cada x desse intervalo, ou em uma notação alternativa

(d)/(d x) [int_a^x f (t) d t] = f ( x )

Dessa forma,

F ´ (x) = a r c t g x

F ´ (sqrt(3)) = a r c t g sqrt(3)

F ´ (sqrt(3)) = 60 °

Fácil, né ?!

Passo 3

c)Derivando F ´ ( x ) , temos:

F ´ ´ (x) = (1)/(1 + x^2)

F ´ ´ (sqrt(3)) = (1)/(1 + 3)

F ´ ´ (sqrt(3)) = (1)/(4)

Resposta

  1. 0
  2. 60 °
  3. (1)/(4)
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