64- Seja F x =   ∫ 3 x   a r c t g   t   d t . Encontre

a)F(raiz(3))

b) F' (raiz(3))

c) F´´(raiz(3))

Passo 1

a)Queridosss, aqui F ( 3 ) é igual à zero. Why ???

A partir do momento em que o exercício pede F ( 3 ) , nós temos que o extremo de integração vai de 3   a 3 . Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, Parte I:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Dessa forma,

F 3 =   ∫ 3 3 a r c t g   t   d t = f 3 - f ( 3 )

= 0

Sacou ?!

Passo 2

b) Galera, a primeira coisa aqui é nós lembrarmos a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo:

Se f for contínua em um intervalo, então f terá uma antiderivada nesse intervalo. Em particular, se a for um ponto qualquer desse intervalo, então a função f definida por

F x = ∫ a x f t   d t

É uma antiderivada de f nesse intervalo; isto é, F ´ x = f ( x ) para cada x desse intervalo, ou em uma notação alternativa

d d x ∫ a x f t   d t = f ( x )

Dessa forma,

F ´ x = a r c t g   x

F ´ 3 = a r c t g   3

F ´ 3 = 60 °

Fácil, né ?!

Passo 3

c)Derivando F ´ ( x ) , temos:

F ´ ´ x = 1 1 + x 2

F ´ ´ 3 = 1   1 + 3

F ´ ´ 3 = 1 4

Resposta

  1. 0
  2. 60 °
  3. 1 4
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