Enunciado

Um recipiente em forma de paralelepípedo tem dois lados quadrados e é aberto em cima. Se o volume for V unidades cúbicas, encontre as dimensões do recipiente com área de superfície mínima.

Passo 1

Vamos assumir que o comprimento dos lados quadrados seja x .

Como é um paralelepípedo, os outros lados são retangulares. Vamos assumir que o comprimento desses lados seja y .

O enunciado dá a entender que ambos os lados fazem parte do paralelepípedo. Então, um dos lados retangulares não existe, como se o recipiente fosse uma caixa sem tampa.

Passo 2

Escrevemos a expressão pro volume V desse recipiente em formato de paralelepípedo:

V = x 2 y

E agora, a expressão pra área da superfície total do recipiente:

A = 2 x 2 + 3 x y

Essa expressão se explica pelo somatório das áreas dos lados quadrados (são 2) de área x 2 e dos 3 lados retangulares de área x y . Lembra que um dos lados retangulares é na verdade um buraco, pro interior do recipiente.

Passo 3

Queremos a mínima área de superfície possível. Pra isso precisamos escrever a área A em função de uma só variável e, depois, trabalhar em cima dessa função.

Fazemos o seguinte: escrevemos y em função de x na exprssão pro volume V e substituímos na expressão pra A . Temos:

y = V x 2

Agora substituímos:

A ( x ) = 2 x 2 + 3 x V x 2

A x = 2 x 2 + 3 V x

Passo 4

Pra descobrirmos o menor valor pra A ( x ) possível, derivamos a função, igualamos a derivada a zero, e obteremos o(s) ponto(s) crítico(s). Vamos ter:

A ' x = 4 x - 3 V x 2

Igualamos a zero:

4 x - 3 V x 2 = 0

4 x = 3 V x 2

x 3 = 3 V 4

∴ x = 3 V 4 3

Esse é o valor pra x que fornece o menor valor possível de somatório de área, pro comprimento do lado quadrado.

Agora só precisamos do valor de y , que obtemos pela expressão que já temos:

∴ y = V x 2 = V 3 V 4 3 2 = V 9 V 16 3

Resposta

São as dimensões x = 3 V 4 3 e y = V 9 V 16 3

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