Enunciado

O tamanho de uma população de peixes pode ser modelado pela fórmula

p n + 1 = b p n a + p n

onde p n é o tamanho da população de peixes depois de n anos e a e b são constantes positivas que dependem da espécie e de seu habitat. Suponha que a população no ano 0 seja p 0 > 0 .

(a) Mostre que se p n é convergente, então os únicos valores possíveis para seu limite são 0 e b - a .

(b) Mostre que p n + 1 < b a   p n .

(c) Use o item (b) para mostrar que, se a > b , então lim n → ∞ ⁡ p n = 0 ; em outras palavras, a população se extingue.

(d) Agora, assuma que a < b . Mostre que, se p 0 < b - a , então p n é crescente e 0 < p n < b - a . Mostre também que, se p 0 > b - a , então, p n é decrescente e p n > b - a . Deduza que, se a < b , então lim n → ∞ ⁡ p n = b - a .

Passo 1

(a) Galera, bora calcular os valores possíveis pro limite de p n ? Pra isso, vamos tomar o limite nos dois lados da equação:

p n + 1 = b p n a + p n

lim n → ∞ ⁡ p n + 1 = lim n → ∞ ⁡ b p n a + p n

lim n → ∞ ⁡ p n + 1 = b lim n → ∞ ⁡ p n a + lim n → ∞ ⁡ p n

Lembre-se que lim n → ∞ ⁡ p n + 1 = lim n → ∞ ⁡ p n = L :

L = b L a + L    

a L + L 2 = b L

L 2 - b - a L = 0

L = 0           o u           L = b - a

Passo 2

(b) Aqui, como p n > 0 , podemos escrever:

b a + p n < b a

b a + p n   p n < b a   p n

p n + 1 < b a   p n

Passo 3

(c) Pessoal, de acordo com o item (a), os únicos valores possíveis do limite são 0 e b - a . Mas, aqui estamos considerando a > b , então b - a nos daria uma população negativa. Então, só nos resta a opção lim n → ∞ ⁡ p n = 0 , beleza?

Passo 4

(d) Agora, assumindo que a < b , primeiro vamos tentar mostrar que p n é crescente quando p 0 < b - a . Lembre-se que, pra ser crescente, temos que provar que p n + 1 - p n > 0 , então vamo lá?

p n + 1 - p n = b p n a + p n - p n = b p n - a p n - p n 2 a + p n = p n ( b - a - p n ) a + p n

Agora olha que interessante, p n + 1 - p n só será maior que zero quando b - a - p n > 0 , ou seja, quando p n < b - a . Ou seja, p 0 < b - a implicaria, ao mesmo tempo, que p n é crescente e que p n < b - a .

Olhando pra mesma equação, concluímos que p n + 1 - p n < 0 somente quando b - a - p n < 0 , ou seja, quando p n > b - a . Da mesma forma, p 0 > b - a implicaria, ao mesmo tempo, que p n é decrescente e que p n > b - a .

Sabe o que isso significa? Nosso trabalho simplificou bastante!

Passo 5

Bom, agora vamos tentar provar por indução que p 0 < b - a ⇒ p n < b - a . Pra isso, vamos tentar provar que p n - b + a < 0 , beleza? Para n = 0 já é válido, então a partir de agora suporemos válido para n = k , ou seja,

p k - b + a < 0

Tentaremos provar pra n = k + 1 :

p k + 1 - b + a = b p k a + p k - b + a = b p k - a b - b p k + a 2 + a p k a + p k = a p k - b + a a + p k < 0

pois nossa hipótese é que p k - b + a < 0 , e a é uma constante positiva. Então nossa indução está completa.

Como já dito no passo anterior, se p 0 < b - a ⇒ p n < b - a , já provamos automaticamente que p 0 < b - a ⇒ p n   c r e s c e n t e , pois p n < b - a ⇒ p n   c r e s c e n t e .

Passo 6

Galera, agora só falta o caso p 0 > b - a , mas é completamente análogo ao passo anterior, também se faz por indução. Pra n = 0 , já é válido, pois p 0 - b + a > 0 , agora supomos válido pra n = k :

p k - b + a > 0

Prova-se pra n = k + 1 :

p k + 1 - b + a = b p k a + p k - b + a = b p k - a b - b p k + a 2 + a p k a + p k = a p k - b + a a + p k > 0

pois nossa hipótese agora é que p k - b + a > 0   . Está feita a indução!

Como já dito no P a s s o   4 , se p 0 > b - a ⇒ p n > b - a , já provamos automaticamente que p 0 > b - a ⇒ p n   d e c r e s c e n t e , pois p n > b - a ⇒ p n   d e c r e s c e n t e .

Passo 7

Galera, independente do valor inicial da população, provamos que { p n } é monotônica (crescente ou decrescente) e limitada, então ela é convergente. Voltando no item (a), vemos que nos restou a possibilidade:

lim n → ∞ ⁡ p n = b - a

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = n + 1 n