Enunciado

Seja

J = λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ

Em que 1 é um numero real arbitrário.

a)encontre J 2 , J 3 e   J 4 .

b)Use um argumento indutivo para mostrar que:

J n = λ n n λ n - 1 n n - 1 2 λ n - 2 0 λ n n λ n - 1 0 0 λ n

c)Determine e x p ⁡ ( J t ) .

d) Observe que, se você escolher l   =   2 , então a matriz J nesse problema é igual à matriz   J no Problema 18 ( f ) . Usando a matriz T do Problema 18 ( f ) , forme o produto T e x p ( J t ) com l   =   2 . A matriz resultante é a mesma que a matriz fundamental Ψ ( t ) no Problema 18 ( e ) .

Passo 1

a) Executando a multiplicação simples.

Para J 2 :

J 2 = λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ ∙ λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ

J 2 = λ 2 2 λ 1 0 λ 2 2 λ 0 0 λ 2

Para J 3 :

J 3 = λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ ∙ λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ ∙ λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ

J 3 = λ 3 3 λ 2 3 λ 0 λ 3 3 λ 2 0 0 λ 3

Para J 4 :

J 4 = λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ ∙ λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ ∙ λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ ∙ λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ

J 4 = λ 4 4 λ 3 6 λ 2 0 λ 4 4 λ 3 0 0 λ 4

Passo 2

c) Para determinando e x p ⁡ ( J t ) :

Temos que uma exponencial de uma matriz quadrada ( n × n ) é definida por:

exp ⁡ A = e A = I + A + A 2 2 ! + A 3 3 ! … …

Em que I é a matriz identidade.

E executar este tipo de formula para uma matriz diagonal 3 × 3 é dado por:

exp ⁡ x 1 0 0 0 x 2 0 0 0 x 3 = e x 1   0 0 0 e x 2 0 0 0 e x 3

Utilizando o mesmo conceito temos:

e J t = e λ t t e λ t t 2 2 e λ t 0 e λ t t e λ t 0 0 e λ t

Passo 3

d)Utilizando a matriz T do problema 18, temos:

T = 0 1 2 1 1 0 - 1 0 3

Aplicando oque enunciado deseja assumindo λ = 2 , e vamos efetuar o produto T e J t :

T e J t = 0 1 2 1 1 0 - 1 0 3 ∙ e λ t t e λ t t 2 2 e λ t 0 e λ t t e λ t 0 0 e λ t

T e J t = 0 e 2 t t e 2 t + 2 e 2 t e 2 t t e 2 t + e 2 t t 2 2 e 2 t + t e 2 t - e 2 t - t e 2 t - t 2 2 e 2 t + 3 e 2 t

Resposta

a)

J 2 = λ 2 2 λ 1 0 λ 2 2 λ 0 0 λ 2

J 3 = λ 3 3 λ 2 3 λ 0 λ 3 3 λ 2 0 0 λ 3

J 4 = λ 4 4 λ 3 6 λ 2 0 λ 4 4 λ 3 0 0 λ 4

c) e J t = e λ t t e λ t t 2 2 e λ t 0 e λ t t e λ t 0 0 e λ t

d)

T e J t = 0 e 2 t t e 2 t + 2 e 2 t e 2 t t e 2 t + e 2 t t 2 2 e 2 t + t e 2 t - e 2 t - t e 2 t - t 2 2 e 2 t + 3 e 2 t

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