Calculando a derivada parcial em relação a
v
teremos,
∂ z ∂ v = ∂ z ( x , y ) ∂ x . ∂ x ∂ v + ∂ z ( x , y ) ∂ y . ∂ y ∂ v
= - ∂ z ( x , y ) ∂ x . e u sen ( v ) + ∂ z ( x , y ) ∂ y e u cos ( v )
Assim,
∂ 2 z ∂ v 2 = ∂ x ∂ v - ∂ z ( x , y ) ∂ x . e u sen ( v ) + ∂ x ∂ v ∂ z ( x , y ) ∂ y e u cos ( v )
Pela regra do produto,
= - ∂ x ∂ v ∂ z x , y ∂ x e u sen v - ∂ z x , y ∂ x e u cos v
+ ∂ y ∂ v ∂ z x , y ∂ y e u cos v - ∂ z x , y ∂ y e u sen v
Fazendo separadamente teremos,
∂ x ∂ u ∂ z x , y ∂ x = ∂ 2 z x , y ∂ x 2 ∂ x ∂ v + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x ∂ y ∂ v
= - ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e u sen ( v ) + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x e u cos ( v )
Da mesma forma,
∂ y ∂ u ∂ z x , y ∂ y = ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y ∂ x ∂ v + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 ∂ y ∂ v
= - ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e u sen ( v ) + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e u cos ( v )
Logo,
∂ 2 z ∂ u 2 = - - ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e u sen ( v ) + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x e u cos ( v ) e u sen v - ∂ z x , y ∂ x e u cos v
+ - ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e u sen ( v ) + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e u cos ( v ) e u cos v - ∂ z x , y ∂ y e u sen v
= ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e 2 u sen 2 v - ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x e 2 u cos v s e n ( v ) - ∂ z x , y ∂ x e u cos v
= - ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e 2 u sen v c o s ( v ) + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e 2 u cos 2 ( v ) - ∂ z x , y ∂ y e u sen v
Utilizando o Teorema de Schwarz
= ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e 2 u sen 2 v - ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e 2 u cos v s e n ( v ) - ∂ z x , y ∂ x e u cos v
= - ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e 2 u c o s ( v ) sen v + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e 2 u cos 2 ( v ) - ∂ z x , y ∂ y e u sen v
Logo,
= ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e 2 u sen 2 v - 2 ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e 2 u cos v s e n v + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e 2 u cos 2 ( v ) - ∂ z x , y ∂ x e u cos v - ∂ z x , y ∂ y e u sen v