Sejam z = z(x, y), x = e^u \* cos(v) e y = e^u \* sen(v) . Suponha que (∂^2 z/∂x^2) + (∂^2 z/∂y^2) = 0 . Calcule

((∂^2)z/∂u) + ((∂^2)z)/(∂v^2)

Passo 1

Inicialmente separaremos nosso problema em dois, ou seja, precisamos calcular derivadas parciais em relação a u e depois em relação a v . Dessa maneira, temos que em relação a u ,

∂ z ∂ u = ∂ z ( x , y ) ∂ x . ∂ x ∂ u + ∂ z ( x , y ) ∂ y . ∂ y ∂ u

= ∂ z ( x , y ) ∂ x . e u cos ⁡ ( v ) + ∂ z ( x , y ) ∂ y e u sen ⁡ ( v )

Assim,

∂ 2 z ∂ u 2 = ∂ x ∂ u ∂ z ( x , y ) ∂ x . e u cos ⁡ ( v ) + ∂ x ∂ u ∂ z x , y ∂ y e u sen ⁡ v

Pela regra do produto,

= ∂ x ∂ u ∂ z x , y ∂ x e u cos ⁡ v + ∂ z x , y ∂ x e u cos ⁡ v

+ ∂ y ∂ u ∂ z x , y ∂ y e u sen ⁡ v + ∂ z x , y ∂ y e u sen ⁡ v

Fazendo separadamente teremos,

∂ x ∂ u ∂ z x , y ∂ x = ∂ 2 z x , y ∂ x 2 ∂ x ∂ u + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x ∂ y ∂ u

= ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e u cos ⁡ ( v ) + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x e u sen ⁡ ( v )

Da mesma forma,

∂ y ∂ u ∂ z x , y ∂ y = ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y ∂ x ∂ u + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 ∂ y ∂ u

    = ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e u cos ⁡ ( v ) + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e u sen ⁡ ( v )

Logo,

∂ 2 z ∂ u 2 = ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e u cos ⁡ v + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x e u sen ⁡ v e u cos ⁡ v + ∂ z x , y ∂ x e u cos ⁡ v

+ ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e u cos ⁡ ( v ) + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e u sen ⁡ ( v ) e u sen ⁡ v + ∂ z x , y ∂ y e u sen ⁡ v

= ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e 2 u cos 2 ⁡ v + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x e 2 u sen ⁡ v cos ⁡ v + ∂ z x , y ∂ x e u cos ⁡ v

∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e 2 u cos ⁡ ( v ) sen ⁡ v + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e 2 u sen 2 ⁡ ( v ) + ∂ z x , y ∂ y e u sen ⁡ v

Utilizando o Teorema de Schwarz

= ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e 2 u cos 2 ⁡ v + ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e 2 u sen ⁡ v cos ⁡ v + ∂ z x , y ∂ x e u cos ⁡ v

∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e 2 u s e n ( v ) c o s ⁡ ( v ) + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e 2 u sen 2 ⁡ ( v ) + ∂ z x , y ∂ y e u sen ⁡ v

= ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e 2 u cos 2 ⁡ v + 2 ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e 2 u sen ⁡ v cos ⁡ v + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e 2 u sen 2 ⁡ ( v ) + ∂ z x , y ∂ x e u cos ⁡ v + ∂ z x , y ∂ y e u sen ⁡ v

Passo 2

Calculando a derivada parcial em relação a v teremos,

∂ z ∂ v = ∂ z ( x , y ) ∂ x . ∂ x ∂ v + ∂ z ( x , y ) ∂ y . ∂ y ∂ v

= - ∂ z ( x , y ) ∂ x . e u sen ⁡ ( v ) + ∂ z ( x , y ) ∂ y e u cos ⁡ ( v )

Assim,

∂ 2 z ∂ v 2 = ∂ x ∂ v - ∂ z ( x , y ) ∂ x . e u sen ⁡ ( v ) + ∂ x ∂ v ∂ z ( x , y ) ∂ y e u cos ⁡ ( v )

Pela regra do produto,

= - ∂ x ∂ v ∂ z x , y ∂ x e u sen ⁡ v - ∂ z x , y ∂ x e u cos ⁡ v

+ ∂ y ∂ v ∂ z x , y ∂ y e u cos ⁡ v - ∂ z x , y ∂ y e u sen ⁡ v

Fazendo separadamente teremos,

∂ x ∂ u ∂ z x , y ∂ x = ∂ 2 z x , y ∂ x 2 ∂ x ∂ v + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x ∂ y ∂ v

= - ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e u sen ⁡ ( v ) + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x e u cos ⁡ ( v )

Da mesma forma,

∂ y ∂ u ∂ z x , y ∂ y = ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y ∂ x ∂ v + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 ∂ y ∂ v

    = - ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e u sen ⁡ ( v ) + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e u cos ⁡ ( v )

Logo,

∂ 2 z ∂ u 2 = - - ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e u sen ⁡ ( v ) + ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x e u cos ⁡ ( v ) e u sen ⁡ v - ∂ z x , y ∂ x e u cos ⁡ v

+ - ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e u sen ⁡ ( v ) + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e u cos ⁡ ( v ) e u cos ⁡ v - ∂ z x , y ∂ y e u sen ⁡ v

= ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e 2 u sen 2 ⁡ v - ∂ 2 z x , y ∂ y ∂ x e 2 u cos  ⁡ v s e n ( v ) - ∂ z x , y ∂ x e u cos ⁡ v

= - ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e 2 u sen ⁡ v c o s ⁡ ( v ) + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e 2 u cos 2 ⁡ ( v ) - ∂ z x , y ∂ y e u sen ⁡ v

Utilizando o Teorema de Schwarz

= ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e 2 u sen 2 ⁡ v - ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e 2 u cos  ⁡ v s e n ( v ) - ∂ z x , y ∂ x e u cos ⁡ v

= - ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e 2 u c o s ⁡ ( v ) sen ⁡ v + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e 2 u cos 2 ⁡ ( v ) - ∂ z x , y ∂ y e u sen ⁡ v

Logo,

= ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e 2 u sen 2 ⁡ v - 2 ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e 2 u cos  ⁡ v s e n v + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e 2 u cos 2 ⁡ ( v ) - ∂ z x , y ∂ x e u cos ⁡ v - ∂ z x , y ∂ y e u sen ⁡ v

Passo 3

Sendo assim,

∂ 2 z ∂ u + ∂ 2 z ∂ v 2

= ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e 2 u cos 2 ⁡ v + 2 ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e 2 u sen ⁡ v cos ⁡ v + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e 2 u sen 2 ⁡ v + ∂ z x , y ∂ x e u cos ⁡ v + ∂ z x , y ∂ y e u sen ⁡ v

+ ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e 2 u sen 2 ⁡ v - 2 ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y e 2 u cos  ⁡ v s e n v + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e 2 u cos 2 ⁡ ( v ) - ∂ z x , y ∂ x e u cos ⁡ v - ∂ z x , y ∂ y e u sen ⁡ v

= ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e 2 u cos 2 ⁡ v + s e n 2 v + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e 2 u cos 2 ⁡ v + s e n 2 v

Pela identidade fundamental da trigonometria

= ∂ 2 z x , y ∂ x 2 e 2 u 1 + ∂ 2 z x , y ∂ y 2 e 2 u 1

= e 2 u ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + ∂ 2 z x , y ∂ y 2

Como por hipótese ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = 0 . Então,

= e 2 u 0 = 0

Portanto,

∂ 2 z ∂ u + ∂ 2 z ∂ v 2 = 0

Resposta

∂ 2 z ∂ u + ∂ 2 z ∂ v 2 = 0

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