14. Seja z = ∫ 1 x 2 - y 2 [ ∫ 0 u s e n   t 2 d t ]   d u .   Calcule

a) (∂^2 z) / (∂x ∂y) b)(∂^2 z) / (∂ x^2)

Passo 1

a) Lembrando que ∂ 2 z ∂ x   ∂ y = ∂ ∂ x ∂ z ∂ y .

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (e aplicando a regra da cadeia)para calcular a primeira derivada de z , temos:

∂ z ∂ y = [ ∫ 0 x 2 - y 2 s e n   t 2 d t ] ( - 2 y )      

E para calcular ∂ ∂ x ∂ z ∂ y , também usando o Teorema Fundamental do Cálculo e aplicando a regra da cadeia, ficamos com:

∂ ∂ x ∂ z ∂ y = s e n   ( x 2 - y 2 ) ( 2 x ) ( - 2 y )

∂ ∂ x ∂ z ∂ y = - 4 x y s e n   ( x 2 - y 2 )

∂ 2 z ∂ x   ∂ y = - 4 x y s e n   ( x 2 - y 2 ) .

Resposta

∂ 2 z ∂ x   ∂ y = - 4 x y s e n   ( x 2 - y 2 ) .

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