Enunciado

Use a regra de Simpson com n = 10 para estimar o comprimento de arco da curva. Compare sua resposta com o valor da integral reproduzido pela sua calculadora.

x = sec ⁡ y ,         0 ≤ y ≤ π 3

Passo 1

Essa questão pede para calcularmos o comprimento da curva usando o método numérico de Simpson e comparar o resultado com o valor calculado por uma calculadora gráfica.

Vamos escrever primeiro a expressão para o comprimento de arco usando a variável y :

L = ∫ a b 1 + x ' 2   d y

Assim, derivando x :

x ' = sec ⁡ y   t g   y = 1 cos ⁡ y ⋅ s e n   y cos ⁡ y = s e n   y cos 2 ⁡ y

Portanto,

1 + x ' 2 = 1 + s e n   y cos 2 ⁡ y 2

Desta forma, o comprimento da curva será

L = ∫ 0 π 3 1 + s e n   y cos 2 ⁡ y 2   d y

Passo 2

Calcular essa integral na mão é uma coisa bastante complicada, ainda bem que só precisamos fazer isso numericamente usando o método de Simpson. A expressão para a regra de Simpson apresentada na seção 7.7 do livro com n = 10 é

∫ a b f y   d y ≈ Δ x 3   f y 0 + 4 f y 1 + 2 f y 2 + 4 f y 3 + … + 2 f y 8 + 4 f y 9 + f y 10

onde Δ x = ( b - a ) / 10 .

No nosso caso, Δ x = π 30 . Assim,

L ≈ π 90 f 0 + 4 f 1 2 + 2 f 1 + 4 f 3 2 + … + 2 f 4 + 4 f 9 2 + f 10

onde f y = 1 + s e n   y cos 2 ⁡ y 2 .

Fazendo essa conta em uma planilha, obtêm-se L ≈ 1,569619 .

Passo 3

Fazendo a conta exata com uma calculadora gráfica, obtive L = 1,56926 . Note que os resultados são praticamente idênticos.

Resposta

L = 1,56926

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10. y = x 3 ,d eP 0 0,0a t eP 1 ( 4,8 )
17. x 2 - y 2 = 1d eP 0 3 , - 2 2a t eP 1 3,2 2
14. x 2 = y 3d eP 0 0 , 0a t éP 1 ( 8 , 4 ) é .
11. y = 4 x 3 + 2d eP 0 0,2a t éP 1 ( 1,6 ) é .
13. y - 1 2 = x + 4 3d eP 0 - 3,2a t éP 1 ( 0,9 ) é .