Enunciado

Seja h t = f e 2 t , c o s t , onde f : R 2 →   R é uma diferenciavel

a) Determinar h ' t   em função das derivadas parciais de f

b)Sabendo que ∂ f ∂ x e 2 π , - 1 = 1 e 2 π , determinar h ' π .

Passo 1

A regra da cadeia é usada para derivar uma função composta para funções de uma variável, se y   =   f x   e   x = h ( t ) tem se

d y d t = d f x d x . d x d t

Se ambas f   e   h   forem deriváveis. Para funções de duas variáveis, tem se como 1º caso , o seguinte:

Suponha z   =   f ( x , y ) diferncialvel em x e y e de modo que x = g t e y   = h t diferenciáveis em t. Então z é diferenciável em t de forma que

d z d t = ∂ z ∂ x . d x d t + ∂ z ∂ y . d y d t

Passo 2

a)Para a função da nossa questão temos:

Trata-se de um caso em que h t = f x t , y t

d f x , y d t = ∂ f x , y ∂ x . d x ( t 0 ) d t + ∂ f x , y ∂ y . d y t 0 d t

d x ( t ) d t = 2 e 2 t

d y t d t = - s e n t  

Os termos ∂ f x , y ∂ x   e   ∂ f x , y ∂ y     não são possíveis calcular sem mais informações, portanto vamos deixá–los somente identificados

Visto isso, ficamos com a seguinte equação

h ' t   = d f x , y d t = ∂ f x , y ∂ x . d x ( t 0 ) d t + ∂ f x , y ∂ y . d y t 0 d t

Passo 3

Substituindo os valores na formula acima, segue que

h ' t   = d f x , y d t = ∂ f x , y ∂ x . 2 e 2 t + ∂ f x , y ∂ y . ( - s e n t )

Como estamos derivando nos pontos em que x   =   e 2 t   e   y = c o s t

h ' t   = d f e 2 t   , c o s t d t = ∂ f e 2 t   , c o s t ∂ x . 2 e 2 t + ∂ f e 2 t   , c o s t ∂ y . ( - s e n t )

b) queremos o valor de h ' π .

Substituindo no resultado obtido na letra a)

h ' π   = d f e 2 π   , c o s π d t = ∂ f e 2 π   , c o s π ∂ x . 2 e 2 π + ∂ f e 2 π   , c o s π ∂ y . ( - s e n π )

Vemos que o segundo termo a direita se anula, pois s e n π = 0 e como foi dado no enunciado que ∂ f ∂ x e 2 π , - 1 = 1 e 2 π , podemos calcular o valor da expressão

h ' π   = d f e 2 π   , c o s π d t = ∂ f e 2 π   , c o s π ∂ x . 2 e 2 π = 1 e 2 π . 2 e 2 π = 2

Resposta

h ' t   = d f e 2 t   , c o s t d t = ∂ f e 2 t   , c o s t ∂ x . 2 e 2 t + ∂ f e 2 t   , c o s t ∂ y . ( - s e n t )

h ' π   = 2

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Use a regra da cadeia para achar d z / d t . z = cos ⁡ ( x + 4 y ) , x = 5 t 4 ey = 1 / t
Use a regra da cadeia para achar d z / d t . z = x 2 + y 2 + x y , x = s e nt ey = e t
Use a regra da cadeia para achar d z / d t . z = 1 + x 2 + y 2 , x = ln ⁡ t ey = cos ⁡ t
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .3. z = s e nx . cos ⁡ y ,x = t ,y = 1 t