Verificar a regra da cadeia para a função

z = raiz(u^2 + v^2 + 5), u = cos x, v = sen y

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

z x , y =   f u x , y , v x , y

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a x

∂ z ∂ x =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a y

∂ z ∂ y =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

∂ f ∂ u = u u 2 + v 2 + 5

∂ f ∂ v = v u 2 + v 2 + 5

∂ u ∂ x = - s e n x

∂ v ∂ x = 0

∂ u ∂ y = 0

∂ v ∂ y = c o s y

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

∂ z ∂ x =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

∂ z ∂ x = u u 2 + v 2 + 5 ( - s e n x ) + v u 2 + v 2 + 5 ( 0 )

∂ z ∂ y =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y

∂ z ∂ y =   u u 2 + v 2 + 5 ( 0 ) + v u 2 + v 2 + 5 c o s y

Deixando tudo em função dos parâmetros x e y

∂ z ∂ x = c o s x ( c o s x ) 2 + ( s e n y ) 2 + 5 ( - s e n x )

∂ z ∂ y = s e n y ( c o s x ) 2 + ( s e n y ) 2 + 5 c o s y

Resposta

∂ z ∂ x = c o s x ( c o s x ) 2 + ( s e n y ) 2 + 5 ( - s e n x )

∂ z ∂ y = s e n y ( c o s x ) 2 + ( s e n y ) 2 + 5 c o s y

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