Enunciado

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Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

Mostre que qualquer função da forma

z = f x + a t + g ( x - a t )

é solução da equação de onda

∂ 2 z ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 z ∂ x 2

[Sugestão: Tome u = x + a t , v = x - a t ]

Passo 1

Tomando a sugestão do enunciado, vamos usar a substituição   u = x + a t e v = x - a t , calculando as derivadas parciais da substituição

∂ u ∂ x = 1

∂ v ∂ x = 1

∂ u ∂ t = a

∂ v ∂ t = - a

Passo 2

Agora temos a função

z = f ( u ) + g ( v )

Derivando parcialmente z em função de x

∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ x

∂ z ∂ x = f ' ( u ) ( 1 ) + g ' ( v ) ( 1 )

Derivando novamente, como a função f só depende de u , se derivarmos em relação a v vai dar 0 , do mesmo modo vale para g em relação a u , então

∂ 2 z ∂ x 2 = f ' ' u ∂ u ∂ x + 0 + g ' ' v ∂ v ∂ x + 0

∂ 2 z ∂ x 2 = f ' ' u + g ' ' v

Agora derivando parcialmente z em função de t

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ t + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ t

∂ z ∂ t = f ' ( u ) a - g ' ( v ) a

Derivando novamente

∂ 2 z ∂ t 2 = f ' ' ( u ) ∂ u ∂ t a - g ' ' ( v ) ∂ v ∂ t a

∂ 2 z ∂ t 2 = f ' ' u a 2 + g ' ' v a 2

Passo 3

Se colocarmos a 2 em evidencia na segunda derivada de z em relação a t

∂ 2 z ∂ t 2 = a 2 f ' ' u + g ' ' v

Mas temos que

f ' ' u + g ' ' v = ∂ 2 z ∂ x 2

Então

∂ 2 z ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 z ∂ x 2

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