Enunciado

Seja γ : I → R 2 parametrizada pelo comprimento de arco (isto é: γ ' s = 1 para todo s ∈ I ).

a) Verifique que, para todo s ∈ I ,   k s = γ ' ' s , onde k s é a curvatura em γ s .

b) Prove que se k s = 0 , para todo s , então γ é uma reta.

Passo 1

O enunciado fornece uma curva γ e pede para calcularmos a curvatura k s da mesma, sabendo que γ ' s = 1 .

Note: devemos calcular k s ! Mas, se fizermos isto pela fórmula comprida para a curvatura ( k s = 1 γ ' t 3 γ ' ' t 2 γ ' t 2 - γ ' ' t ∙ γ ' t 2 ) seguramente teremos muita dificuldade em chegar no resultado!

A dica para este exercício é: Escreva k s através de uma relação mais simples e, a seguir faça uso do fato de que γ ' s = 1 .

Passo 2

Indo nas nossas notas de aula, nossa cola pra prova, ou o que for, seguramente encontraremos a curvatura escrita deste jeito (em função do vetor tangente):

k s = T → ' s

Esta é justamente a fórmula que precisamos! De fato, voltando para as nossas notas de aula, encontraremos uma expressão para o próprio vetor tangente:

T → s = γ ' s γ ' s

Mas perai! Não tínhamos γ ' s = 1 ? Perfeito! Acabamos de deduzir que T → s = γ ' s . Apenas substituindo este resultado na equação para k s já obteremos a prova do crime:

k s = T → ' s = γ ' ' s

Passo 3

Agora, imaginemos que a gente tenha k s = 0 . O que significa isto? Bem, lembrando que a curvatura se relaciona com o raio de curvatura pela fórmula ρ = 1 k temos que, neste caso, o raio de curvatura seria infinito.

Mas o que quer dizer um raio de curvatura infinito? Significa que γ não possui nenhuma curva!

Você já ouviu falar a famosa frase “uma reta é a arco de um círculo de raio infinito”? Pois bem, no espaço tridimensional é a mesma lógica! Se uma curva não possui curvatura, ela segue reto toda vida só pode!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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