Enunciado

Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:

x = 2 c o s t ,   y = 4 t ,   z = 2 s e n t ,   t ∈ 0 , π 2

Passo 1

Galera, vamos relembrar o que é essa função comprimento de arco? Ela é uma que dá exatamente o que o nome indica: o comprimento da função! E o melhor, a gente pode usar pra calcular esse tamanho no intervalo que quisermos. Essa função vai ser escrita assim:

s t = ∫ a t r ' → t * d t *

O que a gente vai fazer então é derivar a função r → ( t ) que a gente tem, calcular o módulo dessa derivada, e depois integrar no intervalo que queremos. Até aí calculamos s ( t ) . Depois disso, encontramos a inversa dessa função, t ( s ) , e aí a nossa função reparametrizada vai ser h → s = r → ( t s ) , aí fechou.

Passo 2

Pra derivar a função r → ( t ) , a gente vai derivar cada uma das suas componentes. Não esquece da regra da cadeia, hein! Mas quem é a função r → ( t ) nesse caso? É só pegar as três componentes que ele deu.

r → t = 2 c o s t ,   4 t ,   2 s e n t

Derivando,

r ' → t = - 2 s e n t ,   4 ,   2 c o s t

Passo 3

Beleza, já tá derivado, então é hora de partir pro módulo dessa derivada!

r ' → t 2 = - 2 s e n t 2 + 4 2 + 2 c o s t 2

Desenvolvendo as contas:

r ' → t 2 = 4 s e n 2 t + 16 + 4 cos 2 ⁡ t

Essa é a relação fundamental da trigonometria que apareceu ali!

r ' → t 2 = 4 + 16

Portanto, o módulo vai ficar:

r ' → t = 20

Passo 4

Agora só falta integrar! Como não temos nenhuma restrição, os nossos limites de integração vão ser 0 e t .

s t = ∫ 0 t 2 0 d t *

Integrando:

s t = 2 0 t * 0 t

Substituindo os limites de integração:

s t = 2 0 t

Passo 5

Agora temos que achar a função inversa, t ( s ) . É assim: nós temos s em função de t , certo?

s = 2 0 t = 2 5 t

Pra encontrar a inversa, a gente só precisa isolar o t em função de s :

t = s 2 0 = s 2 5

Ajeitando os limites:

t ∈ 0 , π 2 → s ∈ 0 ,   5 π

Passo 6

Prontinho, agora é só substituir a função t ( s ) na expressão de r → ( t ) .

r → t = 2 c o s t ,   4 t ,   2 s e n t

h → s = r → t ( s ) = 2 cos ⁡ s 2 5 ,   4 s 2 5 ,   2 s e n s 2 5

h → s = 2 cos ⁡ s 2 5 , 2 s 5 ,   2 s e n s 2 5

Resposta

2 cos ⁡ s 2 5 , 2 s 5 ,   2 s e n s 2 5 ,   s ∈ 0 ,   5 π

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